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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》44
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:17:05 星期六), 站内信件

第六章 复平面上的迭代
6.2 芒德勃罗集
    复解析映射总是将复平面分解为两个互不相交的子集合。一个是稳定的集合，其上
的动力学行为是平庸的；另一个是朱丽亚集J，其上的映射是混沌的。数学家已经证明朱
丽亚 集J是完备集(即J与它的导集J′是一回事)，并且是不变的。
    在复迭代中影响最大的当属迭代z→z^2+c，实际上它只是形式更一 般的复解析迭代
z_(n+1)=F(z_n)+c的一种， F是一个非线性函数。显然z→z^2+c也是最简单的一种，它
 在复迭代中的地位相当于逻辑斯蒂映射x_(n+1)=ax_n(1- x_n)在实迭代中的地位(见第
八章)。
    考虑一般形式的F，令z=x+iy,c=c_( X)+ic_(Y)，其中i表示虚数，i=SQRT(-1)。分
离实部与虚部，具体化迭 代关系便有：
x→f(x,y)+c_(X)，
y→g(x,y)+c_(Y).
    80年代初芒德勃罗在迭代z→z^2+c时，发现了著名的芒德勃罗集， 简称M集。当时
迭代精度和色彩调配均不理想，显现的M集也不好看。但是过 了不久，许多高质量的M集
图片纷至沓来，尤以德国布来梅大学动力系统图形室所作 的图片最为精美，受到举世赞
誉。
    随之而来的是，各大学的教师、研究生以及本科生纷纷利用自己的计算机试算复迭
代， M集一时泛滥高等院校。据说有一段时间校方被迫作出规定，不允许利用实验室的
公 用计算机玩芒德勃罗集。
    在当今时代，您自己购买了一台微机，如果不在上面玩一玩M集和J集，实在 太遗憾
了。看了本书后，读者一定要亲自试一试。编写计算M集和J集的程序并不复杂，您可 以
参照本书给出的PASCAL程序，编制适合您自己使用的更好的程序，您可以用PASCAL，C，
 C++，Java,甚至BASIC语言。
    通常所说的M集是迭代二次函数z→z^2+c产生的，此函数具 体化就是
x→x^2-y^2+c_(X)，
y→2xy+c_(Y).
其中z=x+iy,c=c_(X)+ic_(Y ),以横轴x记录实数的实部，以纵轴y记录实数的虚部。M集
合实际上是常数c=(c_(X),c_(Y))构成的图象。让 c从屏幕左上角开始变化，逐行增加，
一直变到屏幕右下角。如果取的区域是200×2 00，则一共要计算40,000个点，把计算的
结果用不同的颜色标记下来，就得到一幅图象，这 就是M集。对于不同的c值，如何得到
表征迭代性质的不同的结果呢?
    容易知道，无穷远处肯定是迭代的一个吸引子，即对于复平面上相当多的初始条件
，迭代最终都跑到无穷远处。但研究发现，在原点附近还存在一个奇特的区域，在迭代
过程中此区域永远不会跑掉。在非严格的意义上，这个不变的集合就是M集，我们的主要
任务就是画出这个集合的边界——实际上边界是分形曲线，极其复杂，M集图象的全部魅
力就在这里。
    在复平面上，我们以原点(0,0)作为参考点，观察迭代过程是否远离原点，以及逃离
原点的速度如何。为此规定一个距离函数
D=x^2+y^2，
其实D有许多不同的取法，以上取法是最普通的。可以看出，如果D较大，表 明迭代点离
原点较远，如果D较小，表明迭代点离原点较近。假设对于任何一个 c，迭代都从(x_0，
y_0)=(0,0)开始，我们观察迭代点列
(x_1，y_1)，(x_2，y_2)，(x_3，y_3)，… ，(x_(100)，y_(100))，…
的变化状况。每一次都计算一下D值，即该点与原点(0，0)的距离(为方便计，这里 实际
上计算的是距离的平方)。取一个参考距离R，不妨取得大一些，比如R =40(实际上取20
就足够了)。现在想知道迭代多少次后实际的距离D大于R 。在迭代过程中如果D小于R，
则继续让计算机迭代，要规定一个上限， 比如300次。如果迭代了300次后结果仍然不跑
掉(即D仍然小于R)，则可以近 似认为此点属于M集合。
    对于迭代次数小于300次的情况，如果迭代10次D就大于R，则标记c 点为白色；如果
迭代35次D开始大于R，则标记c点为红色；如果迭代 110次D开始大于R，则标记c点为蓝
色，等等。
    标色有很多技巧，表面看来好像属于计算机技术，但实际上这属于传统的美术。懂
得传统美术色彩理论的人，在此大有用武之地。一幅分形图形标上不同的颜色，就有完
全不同的视觉效果，虽然本质上具有同样的数学结构。因此，从这种意义上说，分形图
形艺术是传统美术与计算机的结合。如果掌握了计算机这个工具，甚至完全可以说，这
与传统的美术没有本质区别。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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