Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》46
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:18:39 星期六), 站内信件

第六章 复平面上的迭代
6.4 广义芒德勃罗集和朱丽亚集
    在科学史上，非线性科学家首先研究了形如z→z^2+c之类的复映射 ，通过等势面着
色法，得到了令科学界为之激动不已的M集，以及各式对应的J集。
    除了二次映射，是否可以考虑任意多项式映射，也可以包含三角函数、指数函数，
甚至对数函数呢?
    没有人说不可以。考虑了那些函数后，迭代是否很复杂呢?当然很复杂，特别是想给
出解析结果，就比较困难。但是，在这里我们关心的不是数学严格性，而是结果是否具
有美学价值。
    有了这样的认识，事情就好办多了，你可以根本不管函数的性质，拿过来，装进机
器，算它一算再说。你明白了!有点儿头脑的人立即可以做许多尝试，用不了多久，保证
有惊人的发现。我说的不是科学上的发现，而是美学上的发现。你能够做出其他任何人
未曾想到的美妙图形。
    这样得到的两类图形可以粗略地叫做广义M集和广义J集，它们是分形艺术图形创作
 的主要内容所在。
    你可以试一试下述复映射：
z→z^3+c，
z→z^4+c，
z→z^5+c，
z→z^6+c，
z→z^7+c，
等等。这些迭代看似很简单，但化成实数形式还是有些复杂性，不过并未超出中学数学
知识。如果读者中有谁对复数乘法不熟悉，可以借机复习一遍。这些函数化成实数迭代
，分别有如下具体形式：
x→x^3-3xy^2+c_(X)
y→3x^2y-y^3+c_(Y)，
x→x^4-6x^2y^2+y^4+c_(X)
y→3x^3y+x^3y-4xy^3+c _(Y)，
x→x^5-10x^3y^2+5xy^4+c_ (X)
y→y^5-10x^2y^3+5x^4y+c_ (Y)，
x→6x^5y-20x^3y^3+6xy^5+ c_(X)
y→x^6-y^6-15x^4y^2+15x^2y^4 +c_(Y)，
x→y^7+5x^6y-5x^4y^3-9x^2 y^5+c_(X)
y→x^7-9x^5y^2-5x^3y^4+5x y^6+c_(Y).
    事实上，对于任意不小于二次的复多项式Q(z)，在迭代过程中都有性质： Q(∞)=∞
，并且Q′(∞)=0，于是对于单参量族Q_c( z)(比如Q_c(z)=z^n+c)，我们总可以定 义一
种类似芒德勃罗集的集合。以复二次映射为例，令｜c｜＞2，｜z｜＞ ｜c｜，则当n→
∞时，Q^n_c(z)→∞。
    设A_c（∞）代表∞的吸引域，C代表复平面，广义芒德勃罗集合可 写作
M_(Q_c)=｛c∈C：Q_c不属于A_ c(∞)的所有有限临界点｝.
    因为∞是吸引的，所以总可以定义
J_(Q_c)=偏A_c（∞）
为Q_c的朱丽亚集。对于任意c∈M_(Q_c)， 朱丽亚集J_(Q_c)是连通的。
    最后提一个小问题：如何生成用光滑曲线表示的M集或者J集的等势线?
    基本想法是以黑白两色循环标色，然后用PhotoStyler处理。具体步骤是：1)用Far
t1995得到黑白交替的等势面图形；2)调入PhotoStyler 2.0将它转成灰度图；3)打开“
效果”选单，选“突出”一项，再选“确定边界”子项；4)将图形反转，把图形由灰度
图变成1位的黑白图，用GIF格式存起来。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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