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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》50
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:20:24 星期六), 站内信件

第七章 对称图案与平面铺砌
7.2 关注对称性的世纪
    20世纪里，专家学者对对称性和铺砌问题不断发生新兴趣，掀起一个又一个高潮，
至少可以 举出四个来。
    第一是理论物理学关于对称与守恒定律的新发现。特别是爱因斯坦通过洛伦兹(H.A
.Lorentz ,1853-1928)变换和广义协变原理表达的相对论，李政道、杨振宁、吴健雄等
提出并验证的 弱相互作用中宇称不守恒规律。也许更重要的是杨振宁与密耳斯(R.Mill
s)1954年提出的非 阿贝尔规范场理论。
    第二是荷兰画家埃舍尔绘制了许多神奇而充满哲理的空间铺砌图形。
    第三则是魏尔、彭罗斯、加德纳(M.Gardner，1915- )、格伦鲍姆(B.Grunbaum)从数
学角度 关于对称、准晶、平面周期铺砌与非周期铺砌的研究。
    第四则与非线性科学有关。一方面是扎斯拉夫斯基(G.M.Zaslavsky,1935- )等苏联
学派采用 哈密顿函数对保守系统弱混沌和准规则斑图的研究。另一方面，通过分形理论
中的L系统， 可以生成大量铺砌图形。
    本书关心的是后两者，考虑用动力系统的方法和L系统的方法生成一些平面铺砌图形
。
    现在我们思考,用有限种不同形状的花砖，能否无缝隙且不重叠地铺满二维平面，并
且思考 是否存在确定的算法来一劳永逸地解决这个问题。
    我们知道，用平行四边形、正三角形、正方形、正六边形可以无缝隙地铺满整个平
面，但由 正五边形则做不到。但是用一个不规则的五边形却能做到，1976年人们就找到
了这样的例子 。
    但是以上说的铺砌都是周期铺砌，图形在一个方向或者两个方向上可周期性重复。
只是近20 几年里科学家才发现存在“非周期的平面铺砌”，而14世纪居住在西班牙的摩
尔人(Moor)在 装饰艺术中已使用非周期铺砌了，这真是个奇迹。有人猜测,设计西班牙
阿尔罕布拉宫 (Alhambra Palace)[阿拉伯文意思是“红宫”，建于1238-1358年，摩尔
人王国的宫殿和城 堡，宫内装饰华丽，后多次部分拆建。]装饰品的艺术家们，已经知
道今日称作阿曼格子(Am mann's lattice)的做图工具。
    1977年阿曼(R.Ammann)发现了一批非周期铺砌方法。设q是旋转对称性指数，当q=5
 时，阿曼格子由五组平行线构成，组与组夹角是72°，即各组平行线的倾角分别是0,2
π/5 ，4π/5，6π/5，8π/5。每组平行线中，相邻直线之间的距离正好是斐波那契数
： d=2cos(π/5)=1+SQRT(5)/2.
    数学家起初证明，用20426种花砖能够实现平面非周期铺砌。这个数字太大了。后来
减少到1 04种，1971年减少到6种，彭罗斯最后减少到2种!那么能否减少到1种呢?即能否
用一种花砖 实现纯粹非周期铺砌呢?目前还不知道。有一种“万能”式的楔型花砖既能
实现周期铺砌也 能实现非周期铺砌，不计在内。
    非周期铺砌的本质是，图形整体丧失平移对称性，但仍然存在某种旋转对称性。非
周期铺砌 图案中某些部分之间仍然是完全相同的，数学上叫做局部同构(local isomor
phisim)。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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