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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》51
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:20:50 星期六), 站内信件

第七章对称图案与平面铺砌
7.3 周期网和非周期网
    保守动力系统研究中发现了大量美丽的随机网(stochastic web)，极大地丰富了人
们对经典力学的认识，具有重要的理论和实际意义。不过，本书主要关心的还是“图形
”本身，而不是物理内容。
    80年代中期，以扎斯拉夫斯基、扎哈罗夫(M.Yu.Zakharov)、萨捷耶夫(R.Z.Sagdee
v)、乌西科夫(D.A.Usikov)、切尔尼科夫(A.A.Chernikov)等为代表的苏联科学家提出
并深入研究了一个二维保面积扭转映射(mapping with a twist)，按照几位科学家名字
的首字母，简称 ZZSUC映射，记作M^_α。此映射也称以α为旋转角度的二维扭转映射。
M^_α具有如下形式：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cosα+y_nsinα,
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sinα+y_ncosα.
对应于此映射的哈密顿函数为：
H=1/2α(x^2+y^2)-Kcosy∑^∞_(j= -∞)δ(t-j),
其中t是无量纲时间，上述哈密顿函数对应的正则微分方程为：
dx/dt=αy+Ksiny∑^∞_(j=-∞)δ(t-j),
dy/dt=-αy.
设q为正整数，我们感兴趣的是q次共振条件成立时映射M^_α的特殊情况M^_q,这时的Z
ZSUC映射称q阶共振扭转映射，其形式为：
M^_q：
x_(n+1)=(x_n+Ksiny_n)cos[2π/q]+ y_nsin[2π/q],
y_(n+1)=-(x_n+Ksiny_n)sin[2π/q+ y_ncos[2π/q.
    当q∈R={1,2,3,4,6}时，可以证明，相空间斑图(patterns)是周期网，并且具有 q
次旋转对称性。网络的周期性表明图形存在平移对称性。这说明只有当q为这些值时，
旋转对称性(RS)与平移对称性(TS)才能共存。
    设A和B是网络中相距为一个平移周期s的两点(AB=d)，在 A和B点皆有旋转α=2π/q
角度的旋转对称轴。绕A点转动α角后，AB变成了AC,绕B点转动α角后， BA变成了BD。
为了保证平移对称性不破坏，CD的长度必须是d的整数倍,即CD=md,其中m为正整数。由
图可知
CD=md=d+2dsin[α-π/2]
于是有
cosα=(1-m)/2，
满足上式的m只能取五个值
m=3,2,1,0,-1，
转动角度α可能的取值为
α=π，2π/3，π/2，π/3，2π
因而q的允许值只有五种，其中q=1是平庸情形。因此，映射产生旋转对称性与平移对称
性共存的平面铺砌，其充分必要条件是q∈{1,2,3,4,6}。此定理的含义可以解释为，具
有平移对称性的实在晶体，[晶体内部质点排列具有“远程规律”，表现为质点周期性
重复，即具有所谓的“格子构造”，所以按照经典结晶学定义，晶体内部质点一定要具
有平移对称性。]最多只能有五类旋转对称轴，即L^1,L^2,L^3,L^4,L^6。
计算二维扭转映射M^_q的PASCAL源程序如下，其中的q可以取任意正整数，但只有取 1，
2，3，4，6时才能得到周期网。
{Huajie,Sept.11,1994}
Program Tili05.PAS;
uses Graph,Crt,dos,VGAFONT;｛使用了自编的单元VGAFONT｝
var
c,d,i,j,class,x,y,q:integer;
color,backcolor:word;
K,xs,ys,xe,ye,lins,ccos,ssin:real;
Gd,Gm:Integer;
label 10;
procedure Abort(Msg : string);
begin
Writeln(Msg, ': ', GraphErrorMsg(GraphResult));
Halt(1);
end;
begin
ClrScr; TextColor(Green);
writeln('Quasi-Symmetries and Aperiodic Tiling');
writeln('Input parameter K, for example K=0.1...');
TextColor(Red);
write('K='); readln(K);
class:=4;{以下三行将登记显示驱动程序和两种字体，生成的EXE文件可单独执行}
if RegisterBGIDriver(@VGADriver) <0 then Abort('VGA');
if RegisterBGIfont(@SansFont) < 0 then Abort('SansSerif');
if RegisterBGIfont(@TripFont) < 0 then Abort('Triplex');
Gd:=Vga; Gm:=VgaHi;
InitGraph(Gd,Gm,'');
if GraphResult<>grOK then  Halt(1);
SetColor(7);
SetTextStyle(TriplexFont,HorizDir,3);
OutTextXY(60,10,'QuasiSymmetries and Aperiodic Tiling');
q:=3;{q只有取1，2，3，4，6时才能得到周期网}
ccos:=cos(2*Pi/q); ssin:=sin(2*Pi/q);
for d:=1 to class*6 do
begin
ys:=d/3;
for c:=1 to class*6 do
begin
xs:=c/3;
for i:=1 to 10 do  {omit transient states}
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
xs:=xe;ys:=ye
end;
for j:=1 to 1000 do
begin
lins:=xs+K*sin(ys)
xe:=lins*ccos+ys*ssin;
ye:=-lins*ssin+ys*ccos;
x:=round(xe*8);y:=round(ye*8);
PutPixel(x+300,250-y,d+2);
xs:=xe; ys:=ye;
if KeyPressed then GOTO 10;
end;
end;
end;
10:
OutTextXY(500,450,'Stop it!');
sound(400); delay(200); nosound;
readln;readln;
closeGraph;
end.
上述程序所使用的单元VGAFONT.TPU的源程序VGAFONT.PAS内容如下：
{VGAFONT.PAS, Liu Huajie,1993-01-01, VGA Driver + Fonts}
unit VGAFONT;
interface
procedure VgaDriver;
procedure TripFont;
procedure SmalFont;
procedure SansFont;
procedure GothFont;
implementation
procedure VgaDriver; external; {$L EGAVGA.OBJ }
{可用Turbo Pascal 6.0的BINOBJ.EXE转换*.BGI或者*.CHR，得到*.OBJ}
procedure TripFont; external;  {$L TRIP.OBJ }
procedure SmalFont; external;  {$L LITT.OBJ }
procedure SansFont; external;  {$L SANS.OBJ }
procedure GothFont; external;  {$L GOTH.OBJ }
end.
使用上述程序时应当注意两点：第一，K的取值要恰到好处，不能太大，也不能太小；第
二，迭代初始点的选取(由两个循环控制)要有代表性，可以调解程序中的变量class,c
,d控制初始点。初始点选取不同，影响最后生成的图案(但不会改变对称性)。第一点略
作如下解释。
    K值的大小决定了原哈密顿系统能量E的大小，只有当E取在E_c 附近时，才能得到均
匀分布的网络。E_c恰好对应着相图中双曲点(hyperbolic points)的密度分布ρ_h(E)取
最大值时的能量。我们可以取不同的K值，一点一点地试验，不必真的寻找E_c的准确值
。
    当q=1和q=2时M^_q的表达式可以分别简化为
M^_1：x_(n+1)=x_n+Ksiny_n，y _(n+1)=y_n；
M^_2：x_(n+1)=-x_n-Ksiny_n，y_(n+1)=-y _n.
以上两个方程的解可以精确求出，因而M^_1和M^_2是可积系统。当q ＞2时，M^_q不可积
，分析起来很复杂。q=1和q=2情况下，随机网结构除了1次和2次旋转对称性外，只能产
生一个方向上的平移对称性。
    当q=3,4,6时，M^_q可以分别简化为如下形式
M^_3：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n-1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=-1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n)；
M^_4：
x_(n+1)=y_n，
y_(n+1)=-x_n-Ksiny_n；
M^_6：
x_(n+1)=SQRT(3)/2y_n+1/2(x_n+Ksiny_n)，
y_(n+1)=1/2y_n-SQRT(3)/2(x_n+Ksiny_n).
按正统的结晶学，实际晶体中不可能有5次旋转对称轴，以及高于6次的旋转轴。现在的
问题是，实在的晶体一定要求具有平移对称性吗?经典结晶学的确是这样要求的。因而
以前几乎没有人提出这类“愚蠢”的问题。
    到了20世纪80年代，真的有一伙科学家，试图打破传统，努力寻找不具有平移对称
性的实在 “晶体”(为准确起见，并且避免与传统结晶学冲突，通常仍称为准晶体)。1
984年12月以色列物理学家谢兹曼(D.Schechtman)宣布，发现了一种由铝锰合金相组成
的具有5次旋转对称性的准晶体，后来又发现了其他合金相的准晶体。80年代中期，准
晶体成了科学界的一大热门。
    应当特别指出的是，历史上薛定谔(E.Schrodinger,1887-1961)为了说明构成基因的
生物大分子的结构，在《生命是什么》一书中曾引进过“非周期晶体”(aperiodic cr
ystal)的概念。
    5次旋转对称的准晶体与彭罗斯考虑过的准周期铺砌模式相当接近，后来彭罗斯又从
量子力学的角度猜想：准晶体内部的原子可能也寻求某种能量最低排列，并且这种能量
最低状态不能局部地解决，它是一个全局优化的问题，大概要考虑量子效应。这个猜想
是很有意思的，如果它成立，则表明还有比通常说的晶体最低能量更低的能量状态!可
惜，现在还不能完全证实彭罗斯的猜想。此外，关于准晶体学界还有各种争论。无论最
后结局怎样，准晶体的讨论使局外人开始关注19世纪就早已成熟的经典几何结晶学，推
动了晶体生长理论的发展。
    除了晶体平移对称性这种长程序外，还有其他长程序，这便是“非周期长程序”，
它们是准周期长程序和条件周期长程序。两者的区别在于，前者存在有限个不可通约的
周期，后者存在无穷多个不可通约的周期。
    可以用高维空间投影的办法生成准晶体图形。考虑N维空间中的紧密堆积的N维立方
体向D维空间的投影，其中D小于N。当N等于5，D等于2时，选择适当的投影角度，就会
得到具有5次旋转对称性的彭罗斯铺砌。
    在q维空间中取q个正交的向量{e_j}（j=1,…，q）,画出q个 (q-1)维的超平面正交
于这些向量，超平面之间彼此平行并且等间距。超平面之间的横截形成了q维格子，这
些格子在低维空间上的投影就形成了铺砌图案。因为投影操作是一种线性变换，能够保
持原来高维格子具有的长程序，包括周期性长程序和非周期性长程序，并且后者居多。

    前面提到的扭曲共振映射M^_q，当迭代次数趋于无穷时，存在不变的极限图形，它
在M^_q的作用下整体上是不变的。设极限图形为G，则M^_q G=G， G由共振映射的椭圆
点、双曲点、分界线及周围的随机层组成。G具有 q次“近似对称性”，于是可以认为M
^_q是生成q次近似对称图形的算子。当q∈{1,2,3,4,6}时，G是周期骨架，连接一定的
结点可用于周期铺砌；当q不属于{1,2,3,4,6}时，G是非周期骨架，连接一定的结点可
用于非周期铺砌。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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