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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》52
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:21:28 星期六), 站内信件

第七章对称图案与平面铺砌
7.4 对称斑图的等能面画法
    为了得到q次旋转对称图案，可以先将哈密顿函数做平滑化处理，得到新的哈密顿量
H^((o))_q：
H^((0))_q=∑^q_(j=1)cos｛xcos[2πj/q]+ ysin[2πj/q]｝=∑^q_(j=1)cos(ξ_j)=E,

其中
ξ_j=re_j，j=1,…，q，
r=(x,y),
e_j=cos(2π/q)j+sin(2π/q)j,
在这里ξ_j是矢量r在e_j方向上的投影长度。举例说明，当q=3时，ξ_j取值如下：
ξ_1=[-x+SQRT(3)y]/2,
ξ_2=[-x-SQRT(3)y]/2，
ξ_3=x.
    当q=4时，ξ_j的取值如下：
ξ_1=y，
ξ_2=-x,
ξ_3=-y,
ξ_4=x.
分别令E/x=0,E/y=0,可以求出E的最大值和最小值。当q=3时，E的最大值E_(m
ax)=3，E的最小值E _(min)=-3/2,均对应于椭圆型不动点(elliptic fixed points)。E
=-1对应于双曲型极值点的能量。当E∈(-3/2,-1)时，“粒子”在三角形网格内沿同心
网环运动；当E∈(-1，3)时，“粒子”在六角形格子内沿同心网环运动。
    E取不同值时，会得到各种闭合的不变曲线，它们构成q次对称图案。但图案中相点
分布的密度却与E和q有很大关系。当q{1,2,3,4,6}时， E取不同的值，会得到分布密
度很不相同的对称图案。
    计算过程中，扫描平面某一矩形区域(不失一般性，可以选原点周围的区域)，对每
一点计算函数E=f(x，y)的值，根据E值的大小标上不同的颜色。标色很重要，需要不
断试验，直到满意为止。计算程序如下：
{Program Five.PAS, Symmetries and Tilings of Map}
{(c)Liu Huajie, Oct.3,1994}
uses graph,crt;
label 20;
const
esc=#27;
q=5; {2,3,4,5,6,7,8}{对称次数}
scale=64; {4,16,32,64,128}{斑图实际尺度}
width=450; {150,200,,400,450}{图形每个方向上象素个数}
var
i,gd,gm: integer;
nx,ny,kcolor:integer;
H,r,x0,y0,x,y:real;
xmin,ymin,xmax,ymax,deltax,deltay:real;
ch:char;
BEGIN
Clrscr;TextColor(Green);
writeln('Symmetries and Tiling, Liu Huajie');
writeln('Press ESC to abort during calculating.');
TextColor(Red);
write('Please input xmin='); readln(xmin);
Write('Please input ymin='); readln(ymin);
xmax:=xmin+scale*Pi;
ymax:=ymin+scale*Pi;
Gd:=VGA; Gm:=VGAHi;
InitGraph(Gd,Gm,'D:\PASCAL');
if GraphResult<>grOK then Halt(1);
SetTextStyle(1,1,3);
OutTextXY(500,50,'Press ESC to abort!');
REPEAT
deltax:=(xmax-xmin)/width;
deltay:=(ymax-ymin)/width;
FOR ny:=0 TO width  do
FOR nx:=0 TO width do BEGIN
x:=xmin+nx*deltax;
y:=ymin+ny*deltay;
H:=0;
for i:=1 to q do
begin
H:=H+cos(x*cos(2*Pi*i/q)+y*sin(2*Pi*i/q));
{上一行可以换成任意函数，于是便可计算一般函数的等能面}
end;
IF (H>-9)and(H<=-5) THEN   kcolor:=1;
IF (H>-5)and(H<=-4) THEN   kcolor:=2;
IF (H>-4)and(H<=-3) THEN   kcolor:=3;
IF (H>-3)and(H<=-2) THEN   kcolor:=4;
IF (H>-2)and(H<=-1) THEN   kcolor:=5;
IF (H>-1)and(H<=-0.5) THEN   kcolor:=6;
IF (H>-0.5)and(H<=-0.2) THEN   kcolor:=1;
IF (H>-0.2)and(H<=-0.1) THEN   kcolor:=2;
IF (H>0)and(H<=0.1) THEN   kcolor:=3;
IF (H>0.1)and(H<=0.2) THEN   kcolor:=4;
IF (H>0.2)and(H<=0.3) THEN   kcolor:=5;
IF (H>0.3)and(H<=0.5) THEN   kcolor:=6;
IF (H>0.5)and(H<=1) THEN   kcolor:=7;
IF (H>1)and(H<=3) THEN   kcolor:=8;
IF (H>3)and(H<=5) THEN   kcolor:=9;
IF (H>5)and(H<=7) THEN   kcolor:=10;
IF (H>7)and(H<=9) THEN   kcolor:=11;
IF (H>9)and(H<11) THEN   kcolor:=12;
PutPixel(nx+10,ny+10,kcolor);
IF KeyPressed THEN goto 20;
END;
20:
ch:=ReadKey;
until (ch=esc);{运行过程中，按ESC键随时退出}
CloseGraph
END.
    聪明的读者也许马上就注意到了，上述程序实际上具有通用性，可以计算并绘制任
意形式的二元函数的等能(势)面。使用上面的程序应注意四点：
    1)对于不同的二元函数，标色语句应当作适当的调整，即重新划分等能(势)层区间
。
    2)计算过程中如果想随时中止，需按ESC键。
    3)程序中scale的值决定了视场的大小，在图形大小一定的情况下，如果scale取得
大，相当于将镜头推远，细节看不清，整体效果明显；如果scale取得小，则相当于拉
近镜头观察局部，细节清楚，但不知斑图的宏观结构。
    4)为了得到大型高精度图形，需改变程序，先将计算结果存到一个临时文件中，再
将此文件变成标准格式图形文件(如GIF格式)，可参见本书6.3节有关内容。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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