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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》54
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:24:00 星期六), 站内信件

第八章实映射分形图
8.1 一维逻辑斯蒂映射
    一维逻辑斯蒂(logistic)映射是混沌和分形研究中地地道道的“麻雀”，许多著作
中都要讲解，最精彩的还是北大朱照宣教授1984年写的讲义《混沌》(非线性力学讲义
第五章)。关于逻辑斯蒂映射的数学研究可参见考雷特(P.Collet)和艾克曼(J.-P.Eckm
ann)1980年出版的《区间上作为动力系统的迭代映射》，张景中(1936- )、熊金诚(193
8- )1992年合著的《函数迭代与一维动力系统》，郝柏林著《从抛物线谈起》，以及郑
伟谋(1946- )和郝柏林1994 年合著的《实用符号动力学》。
    非线性科学史中，关于一维逻辑斯蒂映射的研究有一系列有趣的典故，涉及一长串
著名科学家的名字，如马尔萨斯(T.R.Malthus，1766-1834)、乌拉姆(S.M.Ulam,1909-
1984)、萨可夫斯基(A.N.Sarkovskii)、MSS(指三个人)、DGP(指三个人)、费根鲍姆、
梅(R.May,1936- , robert.may@zoo.ox.ac.uk)、约克 (J.Yorke, 1941- )、李天岩、辛
格(D.Singer)等等，限于篇幅，本书不再叙述。下面仅从图形的角度非常粗浅地介绍逻
辑斯蒂映射的分岔过程。
    映射(mapping)也叫迭代(iteration)，比如x_(n+1)=2x_n，若x_1=3 ,则x_2=6，x_
3=12等等。从控制系统的角度看，这也叫反馈(feedback)，把输出当作输入，不断滚动
。很容易想到，反馈的结果有若干种：发散的、收敛的、周期的等等。但是我们要问一
下，一共有多少种可能的运动类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代
过程?
    回答是肯定的。这一点至关重要，但可惜的是人们最近才普遍认识到有这种运动类
型。这说的就是有界非周期运动，它与混沌有关。
    逻辑斯蒂映射的形式为
x_(n+1)=ax_n(1-x_n)，
其中a是参数，取值范围是［-2,4］，通常人们只注意［0,4］这一半，其实另一半［-
2,0］也一样有趣。x的取值为［0,1］。映射的不动点是指满足关系ξ=aξ(1- ξ)的相
点ξ,解得ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。设映射用 f表示，f的2次迭代记作f^2，3次迭代记作f^
3，等等。注意，这种记法不表示乘方关系。f的不动点也叫f的周期1点。f ^2的不动点
实际上是f的周期2点。同理f^n的不动点与f的周期n点是一回事。映射f的周期m点的稳
定性由乘子
λ=｜df^m/dx｜=｜f′(x_1)f′ (x_2)f′…f′(x_m)｜= ｜∏^m_(i=1)f′(x_i)｜
完全决定。映射f的周期点(包括不动点，它为周期1点)的稳定性可具体定义为：
｜λ｜＜1，吸引，稳定；
｜λ｜＞1，排斥，不稳定；
｜λ｜=1，中性；
λ=0，超稳定。
    以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图，得到图
8.1、图8.2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔
)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此
所谓无穷自相似结构。
{logistic.PAS  in PASCAL 6.0, Huajie, Sept. 10,1993}
uses Graph,Dos,Crt;
var
n,j,AA,XX，Gd,Gm,ErrorCode:integer;
Miu,X,CoefMiu,CoefX，XInitial,MiuMin,MiuMax,MiuStep:real;
begin
Gd:=Detect;InitGraph(Gd,Gm,'D:\PASCAL');ErrorCode:=GraphResult;
IF ErrorCode<>grOK THEN halt；
MiuMin:=2.90;MiuMax:=3.99;
OutTextXY(4,460,’2.90’);OutTextXY(600,460,’3.99’);
RectAngle(1,1,639,479);
CoefMiu:=580;CoefX:=440;
MiuStep:=0.001;XInitial:=0.4;
Miu:=MiuMin;
While Miu＜MiuMax DO BEGIN
AA:=Round((Miu-MiuMin)*CoefMiu);
X:=XInitial;
N:=0;
while n＜=200 do  BEGIN
X:=Miu*X*(1-X);N:=N+1;
END;
J:=0;
While J＜=100 DO  BEGIN
X:=Miu*X*(1-X);J:=J+1;
XX:=Round(X*CoefX);
PutPixel(AA+2,-XX+450,15);
End;
Miu:=Miu+MiuStep;
End;readln;
End.
    更为有趣的是，不但对于上述形式的映射有这种分岔结构，映射取如下形式
x_(n+1)=1-λx^2_n，
x_(n+1)=μsin(πx_n)，
x_(n+1)=x_nEXP［δ(1-x_n)］
时，仍然可以得到相似的结构，这叫做结构普适性。从图中看到，一维映射不断发生周
期倍化分岔，比如存在2,2^2,2^3,2^4,…，2^∞及3×2,3×2^2,3×2^3,…，3×2^∞等
周期加倍过程。早在60年代苏联就有一位杰出的数学家将所有可能的周期轨道进行了排
序，这人便是萨可夫斯基，1995年他曾到中国进行学术访问。萨可夫斯基序列中第一个
是周期3，然后是周期5，最后是周期4、周期2和周期1，中间有无穷多别的周期。
    曾在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻分
岔间距之比收敛到一个不变的常数：
δ=lim_(n→∞)｜[a_n-a_(n-1)]/[a_(n+1)-a_n]｜ =4.669,201,609…
不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，对于一维“单峰”映射，都能算出同一个常数 δ
来。这件事很重要，令非线性科学界为之一震，后来曾有人为此提议给费根鲍姆授诺贝
尔奖，但未成功。原因不详，作者猜大概是:第一，严格说来这项成果属于数学而非物
理科学, 而诺贝尔奖从不授予数学学科；第二,人们还未彻底搞清δ的含义、意义；第三
,此项建议在讨论过程中首先遭到非线性科学内部权威人士的激烈反对。此次未获奖，
不等于以后不能获奖，不过麻烦的是，非线性科学研究是集体奋斗的历史，我们一口气
可以说出10个、20个杰出科学家，但找出一个或者两个最杰出者，却让人犯难。如果把
非线性科学与相对论、量子力学相比，这也是一个极大的区别。也许一人或者几人独创
一门新科学(如相对论) 的时代一去不复返了。
    一维映射除了δ外还有其他度量普适性，如标度因子α等，可参看其他著作。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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