Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》55
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:24:25 星期六), 站内信件

第八章 实映射分形图
8.2 里雅普诺夫指数
    确定混沌运动一般有分数维数、里雅普诺夫(A.M.Liapnov，1857-1918)指数、拓扑
熵、功率 谱等几个定量指标，本节谈里雅普诺夫指数。
    一般系统的里雅普诺夫指数并不很容易求出，但对于一维逻辑斯蒂映射，可以给出
解析式， 便于数值计算。设λ是里雅普诺夫指数，对于映射x→ax(1- x)，
f′(x)=df/dx=a-2ax，则
λ=lim_(N→∞)｛1/N∑^(N-1)_(i=1)ln｜df /dx｜｝
=lim_(N→∞)｛1/N∑^(N-1)_(i=1) ln｜a-2ax｜.
    在实际计算中N取足够大即可，可以取500或者2000。计算里雅普诺夫指数λ 的源程
序如下：
{Lyapunov Exponent for logistic Map, Huajie, Oct.12,1993}
uses graph,crt;
const tonum=500;
var
m,k,i,np,winwidth,Gd,Gm:integer;
p0,x0,y0,x1,y1,lins,pmin,pmax,deltap,a,sum,sumsh:real;
begin
Gd:=VGA; Gm:=VGAHI;Initgraph(Gd,Gm,’d:\\pascal’);
winwidth:=500;line(10,30,10,460); line(10,70,15,70);
OutTextXY(22,70,’1.0’);OutTextXY(22,330,’-1.0’);
line(10,330,15,330);line(10,200,winwidth+20,200);
pmin:=3.40; pmax:=3.99;lins:=ln(2)*tonum;
deltap:=(pmax-pmin)/(winwidth-1);
for np:=0 to winwidth-1 do
begin
a:=pmin+np*deltap;
x0:=0.5;
for i:=1 to 20 do begin
x1:=a*x0*(1-x0);x0:=x1;
end;
sum:=0;
for i:=1 to tonum do  begin
x1:=a*x0*(1-x0);
sum:=sum+ln(abs(a-2*a*x1));
x0:=x1;
end;
sum:=sum/lins; sum:=sum*140;
if np=0 then sumsh:=sum;
line(np+11,200-round(sum),np+10,200-round(sumsh));
sumsh:=sum;
end;
readln;sound(500);delay(200);nosound;closegraph;
end.
　
图8.3 一维逻辑斯蒂映射里雅普诺夫指数谱
当λ大于零时，一般认为系统处于混沌运动，当λ小于零时，认为系统处于 周期运动或
者准周期运动。图8.3中，上图展示的是参数a∈［3.40,3.99］区间上里 雅普诺夫指数
的情况，中图和下图示意了参数a∈［3.60,3.65］和a∈ ［3.62,3.64］区间的情况，横
坐标不断变大，纵坐标未变。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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