Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》57
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:25:28 星期六), 站内信件

第八章 实映射分形图
8.4 标准映射
    在第七章中已碰到过二维映射，如二维扭转映射，这里将介绍一种最简单的二维映
射——标 准映射(standard map)。二维标准映射是一种保守的离散系统，它对于理解三
维连续系统的 复杂行为很有帮助。可以形象地说，N-1维的离散映射简单地刻画了相应
的N维连续流 (flow)。
标准映射的一般形式为
x_(n+1)=x_n+Ksiny_n,
y_(n+1)=y_n+x_(n+1),
图8.8 R取定为2，改变K得到的标准映射图
此映射的雅可比(C.G.J.Jacobi,1804-1851)矩阵为
J=(偏f/偏x,偏f/偏y;偏g/偏x,偏 g/偏y)_(P=P^*)
=(1,Kcosy;1,1+Kcosy)_(P=P^*)
其雅可比行列式为｜J｜=1，这说明此系统是保面积的，“保守”一词由此而来。上 式
中的P^*表示映射的不动点，P^*=(x^*,y^*)=(2πm ,0)或者(2πm,π)，其中m=0，±1，
±2，…。不动点有两类：一类是 椭圆不动点，一类是双曲不动点。
Program StandardMapHuajie1993;
uses Graph,Crt,dos;
var c,d,i,j,class:integer;
color,backcolor:word;
K,R,coef1,coef2,xs,ys,xe,ye,expn:real;
Gm,Gd,ErrorCode,x,y:integer;
label 10;
function rMOD(y,x:real):real;
begin
   if (y>x) AND (y>0) thenrepeaty:=y-x;until y
0;
   rmod:=y;
end;
begin
   ClrScr; writeln('Input parameter K=');
   readln(K); class:=4;
   Gd:=Vga; Gm:=VgaHi; InitGraph(Gd,Gm,'d:\pascal');
   if GraphResult<>grOK then  Halt(1);
   coef1:=100/PI;
   for d:=1 to class*6 do
   begin
       ys:=d/2;
       for c:=1 to class*6 do
           begin
             xs:=c/2;
             for i:=1 to 100 do
                 begin
                     ye:=ys+K*sin(xs); xe:=xs+ye;
                     xs:=xe; ys:=ye
                 end;
             for j:=1 to 1000 do
                 begin
                     ye:=ys+K*sin(xs); xe:=xs+ye;
                     xe:= rMOD(xe,R*PI); ye:= rMOD(ye,R*PI);
                     x:=round(70*xe*2/R); y:=round(70*ye*2/R);
                     if (x>0) and (x<650) then
                     if (y>0) and (y<479) then
                     putpixel(x+50,470-y,d);
                     xs:=xe; ys:=ye;
                     if keypressed then GOTO 10;
                 end;
           end;
   end;
10:
   sound(500);
   delay(200);nosound;
   readln;
   closeGraph;
end.
    注意，在上述程序中横坐标和纵坐标交换了一下。取R为2,改变参数K，得到 图8.8
，可以看到当K变大时系统容易出现混沌。当固定K=1.2，改变R时，会 出现什么现象呢
?这时得到图8.9。
　
图8.9 K取定为1.2，改变R得到的标准映射图

--
心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]