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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》58
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:26:06 星期六), 站内信件

第八章实映射分形图
8.5 埃农保面积映射
    法国尼斯天文台埃农(M.Henon,1931- , henon@obs-nice.fr)教授在研究天体力学过
程中提出了许多二维映射，通常说的是埃农映射：
H：
x_(n+1)=1-ax^2_n+y_n，
y_(n+1)=bx_n，
其中a和b都是参数，当｜b｜＜1时，H是耗散的，当｜ b｜=1时，H是保守的。这个映射
是埃农1976年提出来的，研究的人比较多，几乎每本混沌书都要提到,其中北京大学力
学系黄永念教授用纯代数方法研究埃农映射，很有特色。
这里我们考虑埃农1969年提出来的一个保守映射，其形式为
G：
x_(n+1)=x_ncost-y_nsint+x^2_nsin t，
y_(n+1)=x_nsint+y_ncost-x^2_ncos t，
图8.10 保面积埃农映射周期岛结构(改变参数t得到)
其中只有一个参数t可以取不同的值。这个映射的雅可比矩阵为
J=偏（x_(n+1),y_(n+1)）/偏(x_n,y_n)
容易验证，J的行列式｜J｜=sin^2t+cos^2t=1，因而映射 G是保面积的。改变t的取值，
可以看到各种不同的环面、“周期岛”和随机层。
    根据图8.10，当t=1.09时，相图中外圈为周期7岛，内圈为周期6岛。当t=1. 099,
1.108,1.820时，有周期7岛。当t=1.2时，有周期6岛。当t=1.27时，外圈有周期11岛，
内圈有周期5岛。当t=1.30时，外圈有周期16岛，内圈有周期5岛。当t=1.350,1.36058
，10.0时，有周期5岛。当t=1.975时，有周期16岛。在图8.11中，参数t取15时有周期
11岛。
    有兴趣的读者，还可以研究周期倍化分岔过程，用数值计算求得分岔普适常数。本
书不作讨论，但给出基本结果如下：
耗散映射：δ=4.669,201,609,102 …，α=-2.502,907,875,095,892 …,
保守映射：δ=8.721,097,200…,α=-4.018,076 …
其中δ是参数轴分岔间距之比，α是标度因子。这两个常数的存在意味着非线性系统也
存在很强的规律性。这些常数的真正意义仍然有待探索，你可以尝试用π=3.141 ,592,
653…、e=2.718,281,828 …、γ=0.577,215,664…之类常数拼凑，看看能否得出 δ或
α!π是圆周率，e是自然对数的底，γ是欧拉(L.Euler,1707-1783)常数。
　
图8.11 参数t分别取10和15时得到的周期5岛和周期11岛
    数学史上，1744年欧拉证明e是无理数，1873年埃尔米特(C.Hermite,1822-1901)证
明 e是超越数；1761年，朗伯(J.H.Lambert,1728-1777)证明π是无理数，1882年林德曼
( C.L.F.von Lindemann,1852-1939)证明π是超越数；至于欧拉常数γ，不知道它是否
是无理数，更不知道它是否是超越数，但人们猜测它是超越数。非线性科学研究提出来
的新常数δ和α，至今仍然不知道它们是否是无理数、是否是超越数，但愿哪位读者
能解决这个难题。作者估计15年后也许会有一位数学天才给出证明或否证。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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