Science 版 (精华区)

发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》61
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:27:50 星期六), 站内信件

第九章 微分方程系统
9.1 描述大自然的模型
　
    科学家常常自称在探索大自然的奥秘，当获得一定的成功后，他们惊喜地宣布：“
瞧，我找到了!”
    科学家找到了什么?找到了打开自然之门的钥匙，他们发现了大自然的组织奥秘，知
道世界 原来就是这般运行的。
    在一般意义上说，这样理解不算错误，但是在哲学意义上，这种看法是有问题的，
至少显得 有些狂妄。人与自然的关系无论从对象的意义上看，还是从包含意义上看，都
是复杂的，人 类理解自然任何时候都一定是不全面的。人类的所有知识系统的总和如果
与大自然相比的话 ，仍然渺小得很。人们任何时候都不能得意地宣称自己完全理解了大
自然的运行，找到了一 切规律。
    科学不是一天一天在进步吗?依靠科学人类不是取得了一个又一个辉煌技术成就吗?
难道人类 理智的进化不具有坚实的标准吗?
    令人眼花缭乱的千奇百怪的技术通常让人们感觉人类太伟大了，今日的社会真正飞
速发展， 比以往任何时候发展得都快；人类是万物之灵，只有人类理解了自然的语言，
知道大自然的 规律。其实这是一种错觉，人类只是一个物种，今日社会与昨日社会甚至
原始社会发展步调 没什么两样，人类的自然生存能力不但没有发展，而且逐日下降。动
物、植物也理解大自然 的语言，如果说真的有什么语言的话，而且它们理解得也许并不
比我们差。
    人是自然界的一部分，是自然演化链条中某个环节的产物，所以人与自然有相通、
统一的一 面，但人认识自然所达到的知识系统本身不是自然的全部，只是对大自然拙劣
的摹仿。在认 识框架中，人——自然——模型总是以三角关系存在的。模型有许多种，
不同人也使用不同 的模型，科学家所使用的模型一般有严格的定义，互相之间可以理解
。
    从数学角度最一般地看问题，迄今为止科学家使用的模型分两大类，一类是只与时
间演化 有关的模型，另一类是除了时间外还与空间变化有关的模型。前者叫拉格朗日型
模型 (Lagrangian models)，后者叫欧拉型模型(Eulerian models)。模型也就是函数，
因而前者 可简单表示为f(t),后者可简单表示为f(x,t)，其中 t代表时间，x代表空间。

    在拉格朗日型模型中，只有时间t是独立变量，这类模型主要包括常微分方程 (ord
inary differential equations,简记ODE)和差分方程(difference equations，简记 D
E)，后者也叫映射。此外还有格子映射(lattice maps,简记为LM)。用整数m和n 表示维
数(方程式的个数)，R记连续欧氏空间，Z记实整数,t代 表时间，x(t)代表模型(时间的
函数)。当t∈R,x (t)∈R^n时，有常微分方程。当t∈Z,x (t)∈R^n时，有差分方程。当
t∈Z,x( t)∈Z^n时，有格子映射。显然，至少还有一种重要的逻辑可能性，即t∈R,x(
t)∈Z^n，暂且叫它突变模型 (catastrophe models)。突变模型是很有价值的，它代表
时间连续变化，但物理量却离散变 化的类型，比如地震就是这种情况。
    在欧拉型模型中，时间t和空间x都是独立变量。当时间和空间都是实的且连 续时，
有偏微分方程(partial differential equations,简记PDE)，用符号表示就是 t∈R,x∈
R^n，f(x,t)∈ R^m。若时间连续，空间取离散的元胞，在每个元胞内用m个函数描述演
 化规律(图灵(A.M.Turing,1912-1954)称描写元胞内演化规律的方程为“生形式” (mo
rphogens),实际上是一组常微分方程)，这种模型可叫作元胞微分模型(cellular diffe
rential models,简记为CDE)，用符号表示就是x∈R,x∈ Z^n，f(x,t)∈R^m。
    当时间和空间都取离散值，而函数取连续值时，我们有耦合映射(coupled maps,简
记CM)， 用符号表示则为t∈Z,x∈Z^n,f(x ,t)∈R^m。最后一种是全部取离散值，对应
于冯·诺伊曼和乌 拉姆发明的元胞自动机(cellular automata,简记CA)，用符号表示则
为t∈Z ,x∈Z^n,f(x,t)∈Z^m。欧 拉型模型的任务是，如何将空间上定域性的规则与整
体时空动力学模式(patterns)联系起来 。这里的“模式”指空间位形的相关性，与拉格
朗日型模型中相空间变量的相关性不是一回 事。
　

--
心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: 202.118.229.154]