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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》62
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:28:14 星期六), 站内信件

第九章微分方程系统
9.2 龙格-库塔积分法
　
    上节提到了许多模型，最基本的还是迭代(映射)和常微分方程。本章主要讲常微分
方程(ODE )系统，由于通常的微分方程无法解析求解，在实际应用过程中，总是采用数
值积分求解。在数值积分中，将连续过程转化为离散迭代。
    我们在《常微分方程》或者《数学分析》课程中接触过一些微分方程和求解方法，
但那里似乎给出一种错误的印象：精确求解是最重要的并且总能做到。事实上正相反，
在通常情况下了解微分方程的整体几何定性状况非常重要。比较几本教科书就会发现，
能解的方程总是那么几个典型例子。但愿新的教科书能够注意。
    从现代数理科学发展的趋势看，理工科学生应当首先学习微分方程的几何理论(也叫
定性理论)，然后学习常系数线性微分方程精确求解方法，接着学习数值积分方法。最
常用并且效果较好的积分方法是龙格库塔积分法(Runge-Kutta integration method
)。作者在北大专门作过调查，相当一部分理工科本科生、研究生从未听说过龙格库
塔数值积分法，在这里略作介绍也是必要的。
    微分方程数值积分主要有三种方法：1)欧拉法(Euler method)和中点欧拉法(midpo
int Euler method，也叫修正欧拉法)；2)亚当斯法(Adams method)；3)由德国的两位数
学家龙格(C.D.T.Runge,1856-1927)和库塔(M.W.Kutta,1867-1944)提出的龙格-库塔法
，它的特点是收敛速度比欧拉法快。设微分方程组(一般是非线性的)为
dx/dt=F(x,t),x∈R^m
其中x是m维向量，t代表时间，上式代表由m个方程组成的常微分方程组。取固定时间步
长t=nΔ(n=0,1,2，…)，令x _n≡x(nΔ)。采用四阶龙格-库塔法积分，每一步的误差
相当于CΔ^5，其中C是与函数F有关的常数。求x的迭代关系式为
x_(n+1)=x_n+1/6(K_1+ 2K_2+2K_3+K_4)+O(Δ^5)
其中
K_1≡Δ·F(x_n,nΔ),
K_2≡Δ·F［x_n+K_1/2, （n+1/2)Δ］,
K_3≡Δ·F［x_n+K_2/2, （n+1/2)Δ］,
K_4≡Δ·F［x_n+K_3，（n+1)Δ］.
　
    如果是自治(autonomous)微分方程,上述的K_i(i=1,2,3,4)可以简化为
K_1≡Δ·F(x_n),
K_2≡Δ·F(x_n+K_1/2),
K_3≡Δ·F(x_n+K_2/2),
K_4≡Δ·F(x_n+K_3).
    “自治”的含义是微分方程右端不显含时间t，即方程的形状为dx/d t=F(x)。任何
非自治方程都可以通过增加一维而变成自治方程。
    以上说的是固定积分步长的积分，它的好处是比较简单，缺点是有时不够精确。动
力系统有快流形(fast manifolds)和慢流形(slow manifolds)，在积分过程中可以采用
变步长的方法，在快流形上积分步长取得小些，在慢流形上积分步长取得大一些。比如
龙格库塔法的梅森(Merson)修正方案就是一种变步长积分法。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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