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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》63
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:28:49 星期六), 站内信件

第九章微分方程系统
9.3 洛仑兹混沌
    洛仑兹(E.N.Lorenz,1917- )混沌吸引子已成为混沌理论的徽标，代表着复杂性新科
学，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。英国的《新科学家》杂志曾办了
一个专栏，每一期的刊头都有洛仑兹吸引子标记。在国内清华大学曾国屏(1953- )撰写
的《自组织的自然观》一书封面一共选了三幅图：道家的阴阳鱼、行星轨道图和洛仑兹
混沌图，三张图分别位于一个魔方(也可视为骰子)外显的三个面上。这种设计是很有趣
的，作者试图用三幅图分别代表三种世界图景，第一种是各国早期朴素的辩证自然观，
第二种是近代科学形成的还原论的自然观，第三种是以自组织理论、复杂性理论为标志
的新型自然观。
    以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；
3)极限环；4)极限环面(torus，复数形式为tori)。除此以外，大概没有新的运动类型
了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。事实上这种想法是非常错误的。1
963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，清楚地展示了一种新型
运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。
    洛仑兹是学数学出身的，1948年起在MIT作动力气象学博士后工作，1963年他在《大
气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作，无论怎样
评价都不算过分。[有关此文的发表经过可参见洛仑兹的专著《混沌的本质》(The Ess
ense of Chaos)第四章，中译本由刘式达等翻译，气象出版社1997年出版。]而略带腼腆
的洛仑兹在回顾自己的成就时总是十分谦虚。大家应当注意的是，他在那个时代就使用
了计算机，如果不用计算机他肯定发现不了确定性非周期流，不可能就“系统长期行为
不可预测”作出判断。现在科学家使用计算机已成为一种时髦，而那时却是一种冒险。

    说了半天，早该给出洛仑兹方程的具体形式了，学数理的朋友们最喜欢公式(但学文
的正相反)。洛仑兹方程极其美妙，多少年来，人们并未逃出洛仑兹方程的框架，找来
找去能出现混沌的系统总是与洛仑兹系统差不多。洛仑兹方程形式很简单，只有三个方
程：
dx/dt=-σ(x-y)，
dy/dt=rx-y-xz，
dz/dt=xy-bz，
其中σ，r，b是正的参数，这是一个自治的三阶方程组。此方程所表示的向量场的散度
为divF=偏f_1/偏x+偏f_2/偏y+偏f_3/偏 z=-σ-1-b=-(σ+1+b)＜0.
    所以洛仑兹系统是耗散的，相体积不断收缩。此方程虽然能一定程度上描述天气的
复杂变化过程，但它的真正意义并不在气象预报上!他首先是数学家，他用数学来思考
问题。因而他的模型及其从中所揭示出的新的运动体制的意义，就远远不止于气象学。

    现在大家都已清楚，在二维连续系统中不可能出现混沌，三维是出现混沌所要求的
最低维数。洛仑兹模型恰好只有三维。
    对于洛仑兹方程，一般是固定参数σ和b，单独考察r变化时，系统行为的变化。当
0＜r＜1时，有一个稳定不动点O(0,0,0)；当1＜r ＜r^*≡1.34561…时(对于σ=10,b=8
/3)，又出现两个新的稳定不动点A和B，这时共有3个不动点，不动点O已变为不稳定不
动点。 A和B的性质总是相同的，因为方程在变换(x,y,z)→ (-x,-y,z)下是不变的。当
r继续增大到r_t=σ (σ+b+3)/(σ-b-1)=24.7368…时(对于σ=10, b=8/3)，方程的3个
不动点都变得不稳定了，r_t是系统行为变化的临界点，这时就出现了洛仑兹发现的“
确定性非周期流”。1963年洛仑兹研究时3个参数的取值为： σ=10,b=8/3,r=28。这组
参数值通常称标准情形(canonical case) 。当年洛仑兹就是在这一组参数值下，采用计
算机数值计算，发现了奇怪吸引子。当时还没有这一概念，直到1971年吕埃尔(D.Ruel
le)和塔肯斯(F.Takens)才提出“strange attractor”一词。
    洛仑兹的伟大贡献是多方面的，可以轻易举出几条：
    1)为非线性动力学研究贡献了一个绝好的数学模型，值得推崇的不是此模型在多大
程度上直接反映了某个具体的物理现象，而是它抓住了复杂性的本质，为进一步深入探
索各种复杂事物奠定了坚实的基础。
    2)洛仑兹有一套清晰的研究方法，《确定性非周期流》一文运用的一系列合理的“
工作程序 ”，已被70年代末以来的混沌学家广泛采用。
    3)定性的数学分析与计算机定量模拟相结合，开创了复杂性研究的新方法。在现在
看来使用计算机是件平常的事，但在60年代初，这是不平凡的。特别是，他识破了复杂
系统中“对初始条件的敏感依赖性”，能够正确地理解数值计算结果，显示了一位杰出
科学家的洞察力。
    苏联著名学者安德罗诺夫(A.A.Andronov，1901-1952)一生“工作在相平面上”，对
非线性振动有深刻理解，但最终没有发现混沌，没有完成质的飞跃。关键性的一步似乎
注定要让美洲的另一人来迈出。
    1972年美国马里兰大学的费勒(A.Feller)教授在研究气象问题时偶然发现了洛仑兹
1963年以及后来的几篇论文，他本人对洛仑兹的论文并不太感兴趣，虽然认为其中的观
点很重要。费勒把洛仑兹的4篇论文一起交给了本校的数学教授约克。李天岩后来介绍
，“若不是 Feller教授，我们不太可能有机会接触到它。那段时间，我们读了洛仑兹写
的文章，觉得很有意思。”1973年4月的一天，约克告诉李天岩有一个好想法，即后来
出了名的李-约克定理(Li-Yorke theorem)，大约两周后李天岩顺利证明出了此定理。
论文寄到了《美国数学月刊》，不久被退了回来。编辑建议另投其他刊物或改得通俗一
点。因为“月刊”不登专门的研究论文。约克坚持再寄回去，可李天岩一直没有去修改
它，这样该论文在李的办公桌上躺了近一年。1974年是马里兰大学数学系的生物数学特
别年，一次请普林斯顿大学赫赫有名的生物学教授罗伯特·梅来校演讲，最后一天讲到
了生物学中非常重要的逻辑斯蒂模型：
f_r(x)=rx(1-x), x∈［0,1］, 0＜r＜4.
    梅报告了当参数较小时此方程的迭代将导致周期倍分岔。特别地当r=4时，x 值在0
和1之间跑来跑去，他无法解释这种现象，以为是计算误差造成的。约克立即意识到这
些与李-约克定理有关，在送梅上飞机时约克给梅看了那篇未发表的论文，梅大吃一惊，
他认为这个定理在很大程度上解答了他的疑问。约克从机场回来立刻跑到李天岩那里，
说要马上改写那篇文章。结果“周期三蕴含混沌”刊登在了《美国数学月刊》1975年第
12期上。梅到欧洲各处演讲，李约克定理也名扬天下，并且洛仑兹吸引子也被广为介
绍，以前梅并不知道洛仑兹的工作。
    洛仑兹方程数值求解的PASCAL程序如下：
｛Lorenz.PAS｝
Program LorenzAttractorHuajie1993;
uses Graph,Crt,VGAFONT;
var
Gd,Gm，lx,ly,lz,n:integer;
lins1,lins2,sigma,b,r,delta:real;
kx1,kx2,kx3,kx4,ky1,ky2,ky3,ky4,kz1,kz2,kz3,kz4:real;
x,y,z,coef:real;
s:string;
begin
sound(500);delay(200);nosound;TextColor(RED);
x:=2; y:=12; z:=7.03;     {initial conditions}
writeln('E.Lorenz Attractor,  by Liu Huajie, 1993');
writeln('Input parameter value of "r" ');
writeln('"r" in the scope of ［15,40］, usually it equals 28.');
write('       r=');
readln(r) ;
sigma:=10;  b:=8/3;   {parameter values}
if registerBGIDriver(@VGADriver) <0 then  EXIT;
if RegisterBGIfont(@SansFont) < 0 then  EXIT;
if RegisterBGIfont(@TripFont) < 0 then  EXIT;
Gd:=Vga; Gm:=Vgahi;Initgraph(Gd,Gm,'');
IF GraphResult <> grOK then  HALT(1);
n:=0;delta:=0.0005;   {integration step}
settextstyle(1,0,2);SetColor(6);
outtextxy(60,60,'1. Projection of Attractor on Plane YOZ');
outtextxy(60,120,'2. Projection of Attractor on Plane XOZ');
outtextxy(60,180,'3. Projection of Attractor on Plane XOY');
outtextxy(60,260,'Please input number 1,2 or 3,');
outtextxy(60,290,'Then press ENTER key.' );
readln(s);closegraph;
initgraph(gd,gm,'');settextstyle(1,0,3);
outtextxy(10,10,'Press any key to exit!');
rectangle(0,0,639,479);
repeat
begin
n:=n+1;
lins1:=delta*sigma;
kx1:=lins1*(-x+y);
kx2:=kx1-lins1*kx1/2;
kx3:=kx1-lins1*kx2/2;
kx4:=kx1-lins1*kx3;
ky1:=delta*(-x*z+r*x-y);
ky2:=ky1-delta*ky1/2;
ky3:=ky1-delta*ky2/2;
ky4:=ky1-delta*ky3;
lins2:=delta*b;
kz1:=delta*(x*y-b*z);
kz2:=kz1-lins2*kz1/2;
kz3:=kz1-lins2*kz2/2;
kz4:=kz1-lins2*kz3;
x:=x+(kx1+2*kx2+2*kx3+kx4)/6;
y:=y+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)/6;
z:=z+(kz1+2*kz2+2*kz3+kz4)/6;
lx:=round(x*10);ly:=round(y*8);lz:=round(z*8);
if s='1' then begin
PutPixel(ly+290,460-lz,15); end;
if s='2' then begin
PutPixel(lx+300,460-lz,15); end;
if s='3' then begin
putPixel(lx+290,230-ly,15); end;
end;
until KeyPressed;sound(500);delay(200);nosound;readln;CloseGraph;
end.

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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