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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 《分形艺术》65
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日18:29:52 星期六), 站内信件

第九章微分方程系统
9.5 布鲁塞尔子
    从70年代末开始，在耗散结构(dissipative structures)的题目下，一个假想的三
分子化学反应动力学系统就被广泛研究了，其中比利时布鲁塞尔自由大学普里高津(I.
Prigogine,191 7- )教授领导的学派为此作出巨大贡献，于是这个模型被叫做布鲁塞尔
模型。进入80年代，非线性动力学兴起，人们以混沌的眼光重新考察这个系统，加上一
个三角函数策动项，得到受迫布鲁塞尔模型，生成的混沌吸引子遂被称为布鲁塞尔子(
Brusselator)。1982年郝柏林和张淑誉(1933- )在《统计物理杂志》上著文《混沌带的
层次结构》,详细讨论了布鲁塞尔三分子系统。1983年茹克斯(J.-C.Roux)等人在《Phy
sica 8D》上著文《奇怪吸引子的观测》,从实际BZ反应(Belousov-Zhabotinskii reac
tion)数据中构造出奇怪吸引子。至此，非线性动力学方法已深入到理论化学与应用化
学中去。
    在科学史上，三分子化学反应动力学模型起过重要作用，它是耗散结构理论的一个
重要组成部分。在那里人们用它来说明在开放系统中，如何通过分岔，由平衡到近平衡
，再到远离平衡，以至最后出现耗散结构。但是单纯在耗散结构的框架中，人们始终未
能清楚地说明究竟是什么起了关键性的作用。到了80年代，从非线性动力学角度看，事
情才比较明朗：是非线性起关键作用，它引起系统远离平衡，出现新结构。非但如此，
非线性动力学还阐述了细节过程，指出周期倍化分岔，周期骨架与混沌带的关系，找到
了普适常数等，从而将这一特殊的方程，纳入更一般的非线性科学的理论与方法，使之
成为其中的一个特例。这段历史展示了科学界的关注重点从非平衡到非线性的转移。
    现在我们看受迫布鲁塞尔模型
dx/dt=A-(B+1)x+x^2y+α cos(ωt),
dy/dt=Bx-x^2y,
其中A,B,α和ω都是参数，第一个方程最后一项α cos(ωt)表示外部周期策动(如果去
掉这一项就得到原始的布鲁塞尔模型)。这是一个非自治的二阶微分方程系统，因为右
端显含时间。它等价于一个三阶的自治微分方程系统(可化成多种形式)。本节里，我们
直接对其进行数值积分，而不是先把它化成自治系统。郝柏林的文章提到，为了提高计
算速度，应避免多次计算三角函数，于是他们通过增加变量将原方程化成四阶方程再进
行计算。那时候是80年代初，考虑计算速度是有道理的，而现在微机的速度都非常快(
用486DX/80足矣!) ，根本不需要化二阶为四阶。计算程序如下：
{Brussel.PAS, Huajie 1993}
Program BrusslatorAttractor;
uses Graph,Crt;
var
gd,gm,lx,ly,n:integer;
A,B,alpha,omega,delta，x,y,kx1,kx2,kx3,kx4,ky1,ky2,ky3,ky4:real;
begin
x:=0.4;
y:=1;
A:=0.4;
B:=1.2;
alpha:=0.08;
omega:=0.86;
gd:=vga;
gm:=vgahi;
Initgraph(gd,gm,'D:\PASCAL');
if GraphResult ＜＞ grok then halt(1);
delta:=0.004;n:=0;{It is a nonautonoumos eqaution}
repeat
n:=n+1;
{dx/dt=A+x*x*y-B*x-x+alpha*cos(omega*t)}
{dy/dt=b*x-x*x*y}{t=delta*n}
kx1:=delta*(A+x*x*y-(B+1)*x+alpha*cos(omega*delta*n));
kx2:=delta*(A+(x+kx1/2)*(x+kx1/2)*y-(B+1)*(x+kx1/2)+
alpha*cos(omega*delta*(n+1/2)));
kx3:=delta*(A+(x+kx2/2)*(x+kx2/2)*y-(B+1)*(x+kx2/2)+
alpha*cos(omega*delta*(n+1/2)));
kx4:=delta*(A+(x+kx3)*(x+kx3)*y-(B+1)*(x+kx3)+
alpha*cos(omega*delta*(n+1)));
ky1:=delta*(b*x-x*x*y);
ky2:=delta*(b*x-x*x*(y+ky1/2));
ky3:=delta*(b*x-x*x*(y+ky2/2));
ky4:=delta*(b*x-x*x*(y+ky3));
x:=x+(kx1+2*kx2+2*kx3+kx4)/6;
y:=y+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)/6;
lx:=round(x*150); ly:=round(y*150);
PutPixel(round(lx)+200,600-round(ly),15);
until KeyPressed;
sound(500);delay(200);nosound;
readln;
CloseGraph;
end.
    最后给朋友们留一个作业，计算著名的杜芬(G.Duffing)方程:
dx/dt=y-kx,
dy/dt=-x^3+Bcost,
其中k和B是参数，可以考虑k=0.10,B=12.0的情况，当然如果能考虑所有(k,B)组合情况
下系统的行为更好。这个系统实际上表示一种非线性振动，它等价于：
d^2x/dt^2+kdx/dt+x^3=Bcost.
    日本著名科学家上田皖亮(Y.Ueda,1936- )研究此方程长达30余年，他的有关论文1
992年全部译成英文以《通向混沌之路》(The Road to Chaos)为题在美国出版，以无可
争议的事实向世人表明他比洛仑兹还早就发现了微分方程中的混沌，只是以前鲜为人知
。书中最后一文《奇怪吸引子与混沌的起源》叙述了日本学派的混沌研究史与教训，发
人深省。
    应当说明的是，数值计算是必要的，但决不是全部。数值计算必须在理论指导下进
行，否则并不知道计算是否正确。前面提到的所有微分方程系统，我们都可以作数值计
算，但并不等于一切都搞清楚了，相反，这里面有大量问题需要研究。其中任何一个方
程都足够我们研究一辈子的。科学就是这样，进步是缓慢的，却也是坚实的。如果读过
本书的朋友，看到这些奇妙的分形图形，对某一个具体问题发生兴趣，产生一点想法，
进而动手算算、查找资料、深入研究，以至取得进展，作者将十分高兴。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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