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发信人: zjliu (fly), 信区: Science
标  题: 李淼-弦论通俗演义(2)(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年06月16日16:26:31 星期天), 转信

【 以下文字转载自 Physics 讨论区 】
【 原文由 Rg 所发表 】
             第二章经典的极致
(第一节)
如果说现代物理开始于量子物理，经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对
论。广义相对论的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观，但牛顿本人很清楚他的
时空观的局限。爱因斯坦用相对论的因果律代替了牛顿的绝对时与空中的因果
律，所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍然是经典的，广义相对论是经典物
理的极致。这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理所改造。所有相信弦
论的人都认为引力已被成功地量子化，至少在微扰论的层次上。一些执著于几何
是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论，他们在一定程度上承认弦
论的成功，霍金(S. Hawking)以及特霍夫特(G. 't Hooft) 可以被看成这方面的代
表，虽然前者较之后者更极积地支持弦论。我们希望在本章的结尾时看到，弦论
家的观点和弦论同情者的观点都有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策，认为引
力还是原来的引力， 星星还是那颗星星，这样有助于他们继续发表各色各样的
理论。
我们假定读者已学过狭义相对论，甚至一点广义相对论，这样我们就可以
相对自由地从不同角度来看广义相对论。
广义相对论的基本原理是等效原理：在引力场中，在时空的任何一点都可
以找到一个局部惯性系，物理定律在这个局部惯性系中与没有引力场时完全相
同。爱因斯坦本人更喜欢将局域引力譬喻成局部加速所引起的结果。这样，局部
惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间，加速则可以用一个二次的座标变换来
消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述，在一个局域惯性系中，度规变成狭
义相对论中的闵氏度规。爱因斯坦进一步说，如果引力效应可以用一般的座标变
换来消除，则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具
有曲率。爱因斯坦的引力理论是标准的场论，而他相信物理的基本要素就是场，
这是他高度评价麦克斯韦工作的原因。
一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线，而运动方程可以由变分原
理得到。这个变分原理说，连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为
极大-粒子的固有时是欧氏空间中测地线长度在闵氏空间中的推广。这种几何变
分原理早就用在光学中，光的轨道使光程取极小值，这是费马原理。当地球环绕
太阳运动时，人们可以想象，太阳产生的引力场使得太阳周围的时空发生一点点
弯曲，从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中，这个测地线并非是闭合的。
一般说来，它在空间中的投影也不是闭合的，这样就有了水星近日点进动-这里，
时空同时弯曲起了关健作用。同样，一个无质量的粒子如光子在引力场中的测地
线也是弯曲的，尽管光的固有时总是为零，测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱
因斯坦在广义相对论完成之前就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原
理，这等价于仅仅用了度规的时间分量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。
同样，要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。
决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场
方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边
是能量-动量张量。爱因斯坦经过断断续续八年的努力，在1915 年年尾才最终写
下正确的场方程。(从1907 到1911 有三年半的时间，他发表了关于经典幅射理
论的文章，关于狭义相对论，关于临界弥散，甚至尝试修改麦克斯韦方程以期得
到光量子，就是没有发表关于广义相对论的文章。) 1915 年11 月25 日，爱因斯
坦在普鲁士科学院物理-数学部(那时的科学没有今天专业化得利害，今天的一
些物理学家往往以不能与数学家沟通为自豪) 宣读了一篇题为《引力的场方程》
文章。他说：“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成”。
1915 年11 月，爱因斯坦每一个礼拜完成一篇文章。11 月4 日，在一篇文
章中他写下不完全正确的一种场方程，该方程线性化后成为牛顿-泊松方程。11
月11 日，他写下另一个场方程，方程的左边是里奇(Ricci) 张量，方程的右边
是能量-动量张量，他还要求度规的行列式等于一。11 月18 日，爱因斯坦仍然相
信度规的行列式必须等于一。在这篇文章中他发现两个重要效应，爱因斯坦非常
运气的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于一——史瓦兹希尔德于
次年一月发现了严格解，五月即死于在俄罗斯前线得的一场病。爱因斯坦发现的
第一个效应是水星近日点进动。勒维利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859 年观察到
的水星每百年45 秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是
如此令人激动，爱因斯坦此后一连几天不能平心静气地回到物理上来。第二个发
现是，他以前计算的光线弯曲比正确的结果小一半，这时他计及了度规的空间部
份。11 月25 日，爱因斯坦写下了一直沿用至今的引力场方程。爱因斯坦放弃了
度规行列式等于一的物理要求，但将它作为对座标选取的一种条件。爱因斯坦当
时还不知道场方程的左边满足比安基等式，从而方程右边自动满足能动量守恒定
律。能动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。
由于引力常数很小，引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互
作用的大小通常可以用动能与势能之比来定，对于处于束缚态的系统，这个比例
大约是1，所以我们常常说束缚态是非微扰的。不需要计算，我们知道地球在太
阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样，电子在氢原子中的电势能大约等于
它的动能。可是电子与氢原子的原子核-质子-之间的引力相互作用就非常非常小
了，它与电子的动能之比大约是10 的负40 次方！所以我们常常说引力是自然
界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说，时空非常难以弯曲。看一看爱因
斯坦的场方程，它的左边是曲率，右边是牛顿引力常数乘以能-动张量。能-动张
量引起时空弯曲，而牛顿引力常数则很小，可以说时空的强度则很大-比任何金
属要大得多。
在谈到广义相对论的实验验证时，人们常提到的是三大经典验证：引力红
移，光线弯曲和水星近日点进动。时至今日，广义相对论通过了远远不止这些验
证。即使当验证还很少时，人们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功
物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样说。广义相对论的最完美之处在于它是
一种原理理论，即整个理论建立在一些简单的原理之上，尽管它是一个物理理论，
它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功的理论之
一，它解释了所有己知的宏观的包含引力的系统，这包括整个可观测宇宙在内。
其精度经常在万分之一，在等效原理情形，精度已达10 的负13 次方！
广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言：几何。可以说爱因斯坦
的直接继承人，今天仍然活跃的即那些在gr-qc 电子档案馆贴文章的人，仍然坚
持用这种语言。这种语言似乎与量子力学有着本质的冲突，从而与粒子物理学家
所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不想强调这种冲突，但了解这种冲突的
存在是有好处的。60 年代之前在相对论界和粒子物理界之间存在着很少的对话，
这在费曼的故事中很好地体现出来。费曼有一次参加在北卡州(North Carolina)
召开的相对论界的会议。他出发之前忘记了带详细地址，所以他下了飞机后向人
打听有无看到一些相对论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的
人，他说， 就是一些嘴里不停地念叨Gmunu 的人，这人很快知到他指的是谁。
广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格(Steven Weinberg) 的名著《引
力论与宇宙论——广义相对论的原理与应用》中也显示出来。温伯格尝试着用粒
子物理的方法重新表达广义相对论，仅取得部分成功。记住温伯格与费曼最早试
图由自旋为2 的无质量粒子及相互作用推出广义相对论，今天我们知道，人们的
确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2 的无质量粒子的自洽相互作用理论。但
这个证明是一级一级的证明，很难看出其中的几何原理。广义相对论与粒子物理
本质的不同还可以从引力波的效应的计算看出。早在1916 年爱因斯坦就指出在
他的理论中存在引力波。到1918 年，他给出引力幅射与引力系统的四极矩关系
的公式。不同于电磁系统，自旋为2 的粒子的幅射与偶极矩无关。不同于电磁系
统，那里的幅射公式从来就没有人怀疑，而引力系统的引力波幅射是否完全由四
极矩公式给出长期引起争论。争论的原因是引力是一个高度非线性理论，引力势
能本身也会影响引力波幅射。爱因斯坦本人在1937 年曾短暂地怀疑过引力波的
存在。有趣的是，关于引力波幅射的第一级效应的争论直到1982 年才完全得到
解决：爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然，引力波幅射的效应已在脉冲双星
系统中被间接地观察到，这个工作也已获得诺贝尔奖。今年或今后几年，引力波
可能被引力干涉仪直接观测到，这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测又一
令人激动的天文观测。这也将极大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。
(第二节)
广义相对论应用最成功的领域是宇宙学。历史上断断续续地有人考虑过用
牛顿理论研究包括整个宇宙的力学体系，但从无一个比较完备的理论，原因之一
是很难用牛顿理论得到一个与观测相吻合的宇宙模型。如果假定在一定尺度之上
宇宙中的物质分布大致是均匀的，从牛顿理论导出的泊松方程没有一个有限的
解。如果我们被迫假定物质的质量密度只在一个有限的空间不为零，我们则回到
宇宙中心论。即便如此，这个有限的引力体系也是不稳定的，终将不断地塌缩。
独立于牛顿理论的另外一个困难是奥尔伯斯(Olbers) 佯谬。如果物质的主
要成份是发光的星体，那么天空的亮度将是无穷大。每颗星对亮度的贡献与它距
地球的距离平方成反比，而在径向上恒星的线密度与距离平方成正比，所以总亮
度以线性的方式发散。假如恒星分布在一个有限区域，尽管亮度有限，但白昼黑
夜的存在说明这个亮度远小于太阳的亮度，所以这个有限区域不能太大。
现代宇宙学开始于爱因斯坦。他的1917 年2 月份的宇宙学虽然不完全正确，
却一举解决了上面的两个问题。爱因斯坦当然知道用牛顿理论建立宇宙论的困
难，他的出发点却全然不同。爱因斯坦在许多重要工作中，往往从一个很深的原
理，或者从一个在他人看来只是一种不切实际的信仰出发，虽然他常常达到解决
实际问题的目的。这一次他的出发点是马赫原理。马赫原理大致是说，一个质点
的惯性质量在一定程度上取决于其周围的物质分布，换言之，所谓惯性系实际上
就是那些相对于宇宙平均物质分布匀速运动的系统。对于爱因斯坦来说，这意味
着度规完全取决于物质的密度分布，而不是密度先决定曲率，然后再决定度规。
为了实现马赫原理，爱因斯坦首先引入宇宙学原理-宇宙是均匀和各向同性
的。要得到物质密度分布决定度规的结果，他发现必须修改他的场方程，这样他
引进了宇宙学常数。宇宙学常数项是一个正比于度规的项，在大尺度上如果忽略
曲率项，则能动张量完全决定度规。在小尺度上，宇宙学常数项可以被忽略，这
样广义
相对论原来的结果还成立。宇宙学常数项在牛顿理论中有一个简单的对应。
可以在泊松方程中加一个正比于引力势的项，相当于给这个标量场一个质量。如
果物质密度是一个常数，则引力势也是一个常数，正比于物质密度，正比系数是
牛顿引力中的宇宙学常数的倒数。爱因斯坦就是从这个改正的牛顿理论出发从而
避免了无穷大的困难。
爱因斯坦1917 年的宇宙模型是一个封闭的，静态的模型。他错误地认为在
没有宇宙学常数项的情形下场方程没有满足宇宙学原理的解。他也许相信在没有
物质只有宇宙学常数的情形下也没有解。这些后来都被证明是错误的。德西特
(de Sitter) 在爱因斯坦的文章发表后很快就发现只有宇宙学常数情形下的解，这
就是德西特空间。弗里德曼(Friedmann) 于1922 年发现了没有宇宙学常数的解，
这是一个膨胀宇宙模型。哈伯(Hubble) 于1929 年发现宇宙学红移，从而证实膨
胀宇宙模型。哈伯是观测宇宙学鼻祖，他在1924 年首先证实一些星云存在于银
河系之外，从而大大扩大了宇宙的尺度。爱因斯坦后来很后悔当初引进宇宙学常
数从而没能预言宇宙的膨胀，后来他终于放弃了马赫原理。爱因斯坦没能预见到
宇宙学常数是非常可能存在的，所以这个他那时认为是他一生中所犯的最大错误
也许会成为他的最大成就之一-他的最大成就也太多了，最近刚获得诺贝尔的实
验也与他的名字有关。我们将来在讨论弦论如何对待宇宙学常数问题时再介绍最
近的宇宙学常数的天文观测。
宇宙学在60 年代之前是一门高雅的学问，文章不多，但质量很高。60 年代
末彭齐亚斯(A. Penzias) 和威尔逊(R. Wilson) 偶然发现了宇宙微波背景幅射，
宇宙学遂成为一门大众学问，也就是说它成为一门主流学问，大学物理系和天文
系开始有了专门研究宇宙学的教授。早在40 年代伽莫夫等人已经将广义相对论
与粒子物理和统计物理结合起来，预言了核合成与微波背景幅射。标准宇宙模型
开始形成，大暴炸宇宙无论从什么角度看都是唤起公众想象力的最好的东西，它
却是爱因斯坦理论的一个应用，一个并不是最深刻的应用。
狄基(R. Dicke) 在我看来是一个很了不起的人。他对广义相对论的实验和
理论都作出很有原创力的贡献。实验如等效原理的精确检验。当人们满足于宇宙
学原理是一种第一原理时(爱因斯坦早期认为是马赫原理的一个推论)，他开始
怀疑均匀各向同性应是早期宇宙动力学过程的结果。宇宙学原理只是他问的标准
宇宙模型不能解答的三个问题之一。另外两个问题是，为什么宇宙在早期的空间
曲率与物质密度相比非常非常小，为什么早期相变的遗迹几乎不可观察到，如磁
单极。正是他在康乃尔大学的演讲促使顾思(A. Guth)提出暴涨宇宙论
(Inflatio n)，从而一举解决了宇宙论中的三个“自然性”问题。
记得1982 年考到中国科学技术大学做硕士研究生，那时暴涨宇宙论提出仅
一年。我的老师从杨振宁的石溪理论物理研究所访问回来，刚刚写了一篇这方面
的文章，他的文章与相变有关。他在很多场合宣传暴涨宇宙论，大弟子从剑桥回
来也谈相变时的泡泡碰撞。这对一个刚刚接触理论物理的研究生来说是非常新鲜
的话题，不过我心里也有点嘀咕，这个利用最新的粒子物理进展的宇宙模型要解
决的问题也太哲学了，有可能被观测所证实吗？过了近十年，暴涨宇宙论的第一
个间接的，有点模糊的证据才出现，这就是轰动一时的柯比(COBE) 实验。该
实验发现宇宙背景幅射有非常小的大约为万分之一的涨落，暴涨宇宙论的大尺度
结构形成理论需要这么大的涨落。霍金曾说柯比实验是上世纪最重要的发现，这
不免有些夸大。令人兴奋的是，最近的宇宙背景幅射的功率谱的测量说明宇宙是
平坦的，即宇宙目前的空间曲率几乎为零，这是暴涨宇宙论的预言之一。功率谱
曲线的形状也与暴涨宇宙论的预言一致，暴涨宇宙论是否正确有望在今后几年敲
死。
做类似宇宙背景幅射的功率谱的测量要花很多钱，与如今的高能物理实验
相比，却又少得多。在台湾，台湾大学物理系与中研院天文研究所合作，正在极
积建造微波天文望远镜，斥资数亿台币。如果成功，将对测量宇宙学参数作出贡
献。我常想，为何中国大陆不做类似的实验？这类实验需要的投资要小于其它很
多大型国家计划，如一些863 计划。
暴涨宇宙论中大尺度结构的形成起因于量子涨落。由于在暴涨期每个量子
涨落模的波长随着共动尺度一起迅速增长，波长会很快超出当时的视界。这样由
于涨落的两端失去联系，涨落被固定下来。大部份暴涨宇宙模型预言涨落在波长
上的分布是幂律的。很多人喜欢谈宏观量子效应，宇宙的大尺度结构如银河系，
星系团是最大的宏观量子效应。一个不容忽视的问题是，暴涨宇宙论中的涨落可
能起源于非常小的尺度，这些可能比普朗克尺度还要小。进一步研究涨落的谱可
能会揭示量子引力的效应，这也包括弦论中的量子效应。
暴涨宇宙论对研究弯曲空间中的量子场论起到了一个推动作用，对此研究
起到推动作用的另一重要发现是霍金的黑洞量子蒸发理论。从70 年代中期直到
80 年代，弯曲空间中的量子场论是广义相对论界的一个很活跃的领域。这个领
域的进展对理解量子引力并没有带来多大的好处，原因是广义相对论和量子场论
在这里的结合多少有点生硬，在很多情形下，该领域的专家也没有解决一些概念
问题，如什么是可观测量等等。即便如此，这里获得的一些计算结果可以用到暴
涨宇宙论中去，而一些诸如共形反常的计算在弦论的发展过程中也起过一定的作
用，在将来的弦论发展中还会起一定的作用。我们把这个话题留到后面再谈，我
们现在先谈谈广义相对论中的一个最吸引人的话题：黑洞。
(第三节)
当贝肯斯坦(Jacob D. Bekenstein) 于1972 年发表黑洞与热力学关系的时
候，他还是普林斯顿大学的研究生。在1973 年发表于物理评论(Physical Reviews
D) 的文章中，他明确指出，黑洞的熵应与它的视界面积成正比，这个正比系数
普朗克长度平方的倒数。普朗克长度平方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正
比，所以黑洞熵的起源既与引力有关，又与量子有关。在贝肯斯坦之前，所有与
黑洞有关的研究都是经典的，贝肯斯坦改变了一切。
贝肯斯坦现在在以色列的希伯来大学(Hebrew University) 工作。他是那种
所谓的单篇工作物理学家，在1973 年的工作之后，一直在做与黑洞的量子物理
有关的工作。除了黑洞熵之外，他另一个有名的工作是熵与能量的关系，叫贝肯
斯坦上限，我们这里不打算介绍它。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个
方向上做研究的人，叫做：他还在改进和抛光他的博士论文。贝肯斯坦的工作决
不能作如是观，他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中最困难的数
学是积分，这并不说明他的文章易读——他的物理思想要求你有足够的直觉。前
段时期有人在这个论坛上说泡耳钦斯基的文章难以理解，这说明了一个问题，那
就是我们要训练自己的物理直观，而不能满足于理解那些有明确数学定义的东
西。
黑洞可能的存在是很容易理解的，拉普拉斯早就作过这样的猜测。在牛顿
引力中，如果一个物体的动能不足以用来克服引力场中的势能，这个物体就无法
逃逸出去。如果光也不能逃逸出去，对一个远处的观察者来说，产生这个引力场
的物体就是黑的。以拉普拉斯时代对光的理解，光的动能正比于光速的平方，而
光的势能由牛顿引力给出，这样，如果径向距离小于2GM/c^2,势能的绝对值就
大于光的动能，光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小这个值，这个系统就
成为黑洞。这个特别的，与质量和牛顿引力常数成正比的长度叫做史瓦兹希尔德
半径，史瓦兹希尔德在他去世前三个月在他的第二篇关于广义相对论的文章中讨
论了这个半径。
虽然拉普拉斯得到正确的结果，他的方法不正确。正确的方法要用到爱因
斯坦的光子的能量公式，光子的能量不能认为是正比于光速的平方。光子的有效
质量则为能量除以光速的平方，这样，这个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯
坦最为著名的结果。普朗克常数最终消掉，虽然我们在中间过程中用到它。另一
个等价的方法是用引力红移的公式，史瓦兹希尔德半径是引力红移成为无限大的
地方。有趣的是，爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开用他的光量子公式。爱
因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个一个大胆想法搅在一起。
牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外，其它并无共
同之处。在牛顿的黑洞中，原点是一个奇点，但这个奇点与经典电子的原点作为
库伦势的奇点在本质上并无不同。在爱因斯坦理论的黑洞中，径向座标在视界上
发生本质的变化。在视界之外，径向座标是类空的；在视界之内，径向座标是类
时的，所以光锥在视界上才可能变为向内。“座标原点”的奇点是在时间上的一
个奇点，经过塌缩的物质都撞到之这个奇点上，对于它们来说，时间完全终结了。
所以人们说，黑洞的奇点是类空的，很像大暴炸宇宙中的奇点，只不过在黑洞中
这个奇点是时间的终结，而大暴炸宇宙中的奇点是时间的开始。
虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现，要证明它们在现实世界中存在
不是一件很容易的事。钱德拉塞卡(Subramanyan Chandrasekhar) 1934 年的计算
表明，当一个引力系统有足够大的质量时，自然界不存在其它相互作用能阻止引
力塌缩。这个结果要经过许多年才能被大家接受，部份原因是爱丁顿(Sir Arthur
Eddington) 从一开始就非常反对这个结论。对于白矮星来说，当质量大于某个质
量，不稳定性就会发生，这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中子星相应的极限
叫做奥本海默-沃尔可夫极限(Oppenheimer-Volkoff)。这些极限都与太阳的质量相
差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞也终结于黑洞，他去世前的最后一本
研究著作是关于黑洞的，主要研究黑洞周围的扰动。他于1982 年完成这本书，
时年71 岁。
黑洞的存在是无庸置疑的，我们的银河系的中间就有一个巨大的黑洞。可
以肯定，有十分之一的星系和活动星系核的中心都是黑洞，这些黑洞的起源还是
一个谜。
我们前面说过，贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵，根据统计物理，这
说明给定一个黑洞，应该有很多不同的物理态，态数的对数等于熵。这些态不能
用经典物理来解释。事实上，在广义相对论中可以证明一个所谓的无毛定理，黑
洞的状态由少数几个守恒量完全决定，如质量，角动量和电荷，每一个守恒量对
应一个局域对称性。整体对称性所对应的守恒量，如重子数，在引力塌缩过程中
是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找，因为他的熵公式含有
普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰的，当普朗克常数为零时，
黑洞熵是无限大，而不是经典物理中的零。由此可见，我们不能指望用微扰量子
引力来解释黑洞的熵。
在1973 年，贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用，他是如何得到他的熵公
式的呢？他用的是非常简单的物理直觉。首先，那时有大量的证据证明在任何物
理过程中，如黑洞吸收物质，黑洞和黑洞碰撞，黑洞视界的面积都不会减小。这
个定律很像热力学第二定律，该定律断言一个封闭系统的熵在任何过程中都不会
减少。贝肯斯坦于是把黑洞视界的面积类比于熵，他并说明为什么熵应正比于面
积，而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的正比系数，
他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加一(这里我们的熵的单位
没有量纲，与传统单位相差一个波尔兹曼常数)，这可以通过增加黑洞的质量来
达到目的。如果熵与面积成正比，则熵与质量的平方成正比，因为史瓦兹希尔德
半径与质量成正比。这样，如要将熵增加一，则质量的增加与黑洞的原有质量成
反比，也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。现在，如何增加黑洞的熵呢？我们希
望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子是最“轻”的粒子，同
时由于自旋的存在具有量级为一的熵。这样，我们可以用向黑洞投入光子的方法
来增加黑洞的熵。我们尽量用带有小能量的光子，但这个能量不可能为零，因为
光子如能为黑洞所吸收它的波长不能小于史瓦兹希尔德半径。所以，当黑洞吸收
光子后，它的质量的增加反比于史瓦兹希尔德半径，这正满足将黑洞熵增加一的
要求。对比两个公式的系数，我们不难得出结论：黑洞熵与视界面积成正比，正
比系数是普朗克长度平方的倒数。
贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中的无量纲系数，尽管贝肯斯坦
本人给出一个后来证明是错误的系数。当霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息
时，他表示很大的怀疑。他在此之前做了大量的关于黑洞的工作，都是在经典广
义相对论的框架中，所以有很多经验或不妨说是成见。类似我们在第一章中提到
的威顿之于对偶，他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质，从而最终导致他发现
霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说，1973 年当他与巴丁(James M.
Bardeen) 卡特(B. Carter) 合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文章时，他是不
相信贝肯斯坦的。
不久，他发现了黑洞的量子蒸发，从而证明黑洞是有温度的。简单地应用
热力学第一定律，就可以导出贝肯斯坦的熵公式，并可以定出公式中的无量纲系
数。由于霍金的贡献，人们把黑洞的熵又叫成贝肯斯坦-霍金熵。霍金的最早结
果发表在英国的<<自然>>杂志上，数学上更完备的结果后来发表在<<数学物理
通迅>>。在简单解释霍金蒸发之前，我们不妨提一下关于中文中熵这个字的巧合。
在热力学第一定律的表述中，有一项是能量与温度之比，也就是商，所以早期翻
译者将entropy 翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商，即视界面积和普朗克
长度的平方。
霍金蒸发很象电场中正负电子对的产生，而比后者多了一点绕弯(twist)。
在真空中，不停地有虚粒子对产生和湮灭，由于能量守恒，这些虚粒子对永远不
会成为实粒子。如果加上电场，而虚粒子对带有电荷，正电荷就会沿着电场方向
运动，负电荷就会沿着电场相反的方向运动，虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。
电场越强电子对的产生几率就越大。现在，引力场对虚粒子对产生同样的作用，
在一对虚粒子对中，一个粒子带有正能量，另一个粒子带有负能量。在黑洞周围，
我们可能得出一个怪异的结论：由于正能被吸引所以带有正能的粒子掉入黑洞，
而带有负能的粒子逃离黑洞，黑洞的质量变大了。事实是，在视界附近由于引力
的作用正能粒子变成负能粒子，从而可能逃离黑洞，而负能粒子变成正能粒子，
从而掉进黑洞。对于远离黑洞的人来说，黑洞的质量变小了；对于视界内的观察
者来说，掉进黑洞的粒子具有正能量也就是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不
可思义。
霍金蒸发是黑体谱，其温度与史瓦兹希尔德半径成反比，黑洞越大温度就
越小，所以幅射出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半径接近(这很象我们上面
推导贝肯斯坦熵时用的光子)。当幅射出的粒子变成实粒子后，它们要克服引力
作用到达无限远处，所以黑体谱被引力场变形成为灰体谱。霍金在<<时间简史
>>中坦承，当他发现黑洞幅射时，他害怕贝肯斯坦知道后拿来支持他的黑洞熵的
想法。
黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大
的挑战。我们虽然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵，这并不表明
我们已理解了黑洞熵的起源。最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作
用，但我们还没有能够理解史瓦兹希尔德黑洞的熵。另外，黑洞蒸发后遗留下来
的是一个量子纯态还是一个混合态，就象黑体谱一样？如果是后者，那我们就不
得不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改，最近霍金也改变了他
过去的看法加入弦论家的行列。黑洞的量子物理在过去对弦论的发展起到很大的
作用，在将来注定对弦论的发展起到也许更大的作用。
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朋友，你有二三十岁了吧，这些年你一定碰到过你的梦中情人，
你很想得到她，可是你不敢;
我有一位朋友，他经验实足，只是最近在忙于追一个女孩子，
但只要你肯向他讨教，
他一定可以帮你解决这个问题....

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