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发信人: zjliu (fly), 信区: Science
标  题: 李淼-弦论通俗演义(3)(转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年06月16日16:26:45 星期天), 转信

【 以下文字转载自 Physics 讨论区 】
【 原文由 Rg 所发表 】
第三章超对称和超引力
(第一节)
场论与量子力学的结合产物是量子场论。量子场论早期遇到的困难是紫外
发散。发散对物理学家来说并不陌生，洛伦兹和彭加勒在古典电子论中已经遇到
了发散，就是电子的无限大自能。他们假定电子的半径不为零，这样就得到了有
限的结果。非常令人惊奇的是，如果假定电子的能量完全来自自能，他们的结果
与爱因斯坦的著名的质能关系几乎一样。而洛伦兹的结果出现在1904 年，比爱
因斯坦发现狭义相对论早了一年。另外一种发散导致普朗克早几年引进量子的概
念，这就是黑体幅射的紫外灾难。
紫外灾难与电子的无限大自能不同之处在于，后者是由于电荷集中在无限
小的区域，而前者的原因是一个固定的相空间区域有无限多个态。普朗克引进量
子使得每一个态占据一定的相空间，因此黑体幅射作为一种自由理论变成了有限
的。量子论并没有解决相互作用的发散问题，因为这种发散的根源是，在一个固
定的空
间区域有无穷多个自由度。换言之，对应一个有限的空间区域，其相空间
为无限大，我们必须计及无限大的动量空间。所以，普朗克的量子“正规化”了
相空间，并没有将空间“正规化”。
一种人为的正规化办法是在动量空间引进截断，也就是说我们在做计算的
时候假定有一个最大的动量。通过测不准原理，这样做等价于在空间上作一个小
距离截断。从场论的观点讲，这等于我们假定所有的场在小于一定的距离上没有
变化。这样做既排除了经典上的发散如电子的无限大自能，也排除了新的量子发
散。新的量子发散来自小距离上的量子涨落，如正负电子对的产生和湮灭。当截
断被去除后，通常我们还是得到无限大的结果，这就迫使人们引进“重正化”。
重正化的办法是引进所谓裸参数，如电子的质量和电荷，这些裸参数是截断的涵
数。而物理参数仅是物理过程涉及到的能量的涵数，其来源分成两部份，一部份
是裸参数，另一部份来自介于截断和物理能量之间的量子涨落。如果所有的无限
大都能用重正化来消除，我们则称该量子场论是可重正的。
以上的重正化观念是老的观念，也就是到费曼，薛温格和朝永振一郎
(Tomonaga)所采用的办法，现在又叫粒子物理的重正化观念。现代有效量子场论
并不要求可重正性。在有效量子场论中，如果我们仅仅对一定能量以下的物理现
象感兴趣，我们可以将高能的模“积掉”，也就是说高能的模对低能模的效应可
以由低能模的有效哈密顿量(Hamiltonian) 或者拉氏量(Lagrangian) 完全体现
出来。不同的高能拉氏量可能产生相同的低能拉氏量，如果我们仅对一定能量以
下的物理感兴趣，高能理论的行为就无关紧要了。一个不可重正的理论在高能区
需要越来越多的参数，所以，用现代量子场论的观点来看，可重正性等价于高能
区有一个不动点，这就是可重正性的可预言性的全部含义。
所以，我们并没有理由要求我们的粒子模型一定是可重正的。粒子物理的
标准模型恰恰是可重正的，严格来说，这并不意味着标准模型有一个紫外(高能)
不动点，但肯定意味着标准模型可以被放进一个更大的，有紫外不动点的理论。
这个事实本身，从有效量子场论的角度来看，已经耐人寻味。如果把引力包括进
来，我们有理由要求整个理论是可重正的，因为引力本身已经蕴涵着一个能量极
限，也就是普朗克能量。当然我们也可以假定在普朗克能量之上还不断地有新的
物理，这种哲学和统一观点背道而驰。也许，标准模型的可重正性以及弦论作为
可重正的(其实是有限的)引力理论的存在是对持统一观点的人的极大支持。
有两种方式判定一个理论是否是可重正的。通常用的办法是微扰展开，就
是从一个自由理论即没有相互作用的理论出发，加上一些相互作用项，每一项有
一个对应的参数，通常叫做偶合常数。如果某个参数带有长度量纲或长度量纲的
正幂次，我们称该项为无关项(irrelevant term)；如果对应的参数带有长度量纲的
负幂次，则称该项为相关项(relevant term)。一个无关项，通过量纲分析，在低
能区变得不重要(无关因此得名) 而在高能区变得重要，原因是其影响可通过一
个无量纲参数，即偶合常数乘以能量的正幂次来确定。如果某一无关项在一能区
存在，那么它在更高的能区会引出更多的不同的无关项，所以无关项又是不可重
正的。
引力所对应的偶合常数是牛顿引力常数的平方根，所以引力是不可重正的。
这个事实可以用以下的简单方法看出。爱因斯坦理论是非线性的，它的第一个相
互作用项是度规场的立方项，其对应的偶合常数是牛顿引力常数的平方根。在四
维中，如同任何一个玻色场，引力场带有质量量纲，即长度量纲的倒数。立方偶
合项一定含有两次微分，这同样可以通过量纲分析来看出，因为偶合常数有长度
的量纲。一个相互作用项所含的微分次数越高，它对量子涨落的发散的贡献越大，
因为该项在高能区变得越来越大——每增一次微商，就多了一个能量因子。为了
消除这些发散，我们就不得不引进越来越多的无关项，这样引力没有一个在高能
区有好的定义的理论。
顺便提一下，我们前面说引力的最简单的相互作用项含有两次微商，这与
引力子是自旋为2 的粒子有关。一般的规范场所对应的量子自旋为1，其简单的
相互作用项含有一次微商。更为一般的结论是，自旋为几的粒子所对应的相互作
用必定含有几次微商。所以，一个含有自旋为3 粒子的理论一定是不可重正的。
在四维中，可以证明，可重正的量子场论最多只含自旋为1 的粒子-这是70 年代
初量子场论的重要结果。人们实际上得到更强的结论，所有可重正的，含有自
旋为1 的粒子的量子场论必为规范理论，即杨-米尔斯理论。
我们上面提到，以威尔逊的现代场论观点来看，我们没有理由要求引力是
可重正的。也许真实的图象是，当我们不断地提高能量，物理理论变的越来越复
杂，而爱因斯坦的理论只不过是一个低能有效理论。虽然我们不能完全排除这种
可能，我们提到的普朗克能标的存在暗示着在高能区存在一个简单的量子引力理
论。黑洞的存在也支持这个可能性。设想我们用带有很高能量的粒子束来探测小
距离上的时空结构，如果没有引力，海森堡测不准原理告诉我们能量越高，我们
探测的距离越小。引力介入后，过去很多人，特别是惠勒(John A. Wheeler)，相
信越高的能量会带来越大的时空涨落，如所谓的时空泡沫(spacetime foams)。时
空泡沫指的是在普朗克距离上时空的拓扑不确定，有许多虫洞(wormholes)结构。
黑洞的形成使得这些如时空泡沫的结构能否被观察到成为很大问题。能量越高，
形成的黑洞就越大，其事件视界(event horizon) 也就越大，所有可能的复杂的时
空结构都被视界所掩盖。而视界之外的时空却非常光滑，能量越高，视界之外的
曲率就越小，那么低能的有效理论也就越适用。如此，对于一个外部观察者来说，
高能的量子引力行为就不可能被复杂的拉氏量中的无关项所主导。我们这里所描
述的可能性现在叫做紫外-红外对应，即量子引力中的紫外行为与红外物理相关。
如此，我们相信在一个有引力的量子理论中，高能理论不会象有效量子场
论所指出的那样，在高能区存在许多不可预测的可能性。量子引力本身必定是有
简单定义的理论，换言之，量子引力是一个更大的，可重正的甚至是有限的理论
的一部份。这个理论不太可能是爱因斯坦理论的简单量子化，因为我们已知道爱
因斯坦理论不可能被简单地量子化。这就迫使我们寻找一个更大的，至少是可重
正的理论。我们将被历史地，在某种程度上也是逻辑地带到超对称。
(这一节写完，我发现要将这里所讲的一些道理让仅有大学物理背景的人看
懂，我至少要再花上是这里几倍的篇幅。我希望大多读者没有被吓走。好消息是，
如果你读完这一节后还没有被吓走，你以后大概再也不会被吓走。)
(第二节)
超对称作为一种理论上的可能的发现是一段饶有兴趣的科学史。在读完前
面关于场论中的无限大之后，也许我们会想当然地猜测超对称的发明是为了消除
无限大。70 年代初超对称不同的发现者有不同的理由发明超对称，却没有一个
理由是为了将无限大驱逐出量子场论。
前苏联物理学家尤里-高尔芳(Yuri Abramovich Golfand) 远在60 年代末就
开始寻找介于玻色子与费米子之间的对称性，他的动机是解决弱相互作用！当时
温伯格-萨拉姆(Weinberg-Salam) 模型还没有建立，温伯格关于弱电统一的文章
发表于1967 年。根据高尔芳的学生、他后来的超对称合作者伊夫金-利特曼
(Evgeny Likhtman)的回忆，高尔芳在68 年春已得到4 维的超彭加勒代数
(super-Poincare algebra)，这比西方发现超对称早了三年，比西方发现4 维的超对
称早了6 年。可惜高尔芳并没有立即发表这个结果，因为他虽然克服了所谓的柯
尔曼-满杜拉止步定理(Coleman-Mandula no-go theorem)，他还没有构造好实现这
一对称的场论。这与目前信息时代的物理学家的发表态度形成鲜明的对比，我们
可以在前天看到同行在网上贴出的文章，昨天作了一点推广式的计算，今天草就
一篇大作，明天网上见面。顺便提一下，当我和人聊起超对称的发明的时候，常
常有人将之归功于数学家盖尔芳(Israel Gelfand)。盖尔芳比高尔芳有名得多，是
第一届沃尔夫数学奖得主，生于1913 年，比高尔芳大9 岁。盖尔芳还活着且仍
在发表文章(网上能查到的最新文章出于去年9 月)，而高尔芳已于1994 年辞世。
前段时间也是来自前苏联的、现今在明尼苏达大学的谢夫曼(M. Shifman)
组织人为高尔芳出了一本纪念文集。读了谢夫曼写的前言，我才知道高尔芳在
1973 年至1980 年之间失了业。他与利特曼的第一篇关于4 维超对称场论的文章
发表于1971 年，这比西方第一篇4 维超对称场论的文章早了三年，是关于用现
代的术语讲就是超对称量子电动力学的。那么，高尔芳为什么在发表了如此重要
的文章后被列别捷夫物理研究所(Lebedev Physical Institute) 解聘呢？谢夫曼提
供了二个可能的原因。一是，朗道发现了所谓的朗道极点之后苏联很少有人相
信场论， (在整个60 年代，西方的大多数粒子物理学家对场论也失去信心，原
因是弱相互作用不可重正，而强相互作用更是一团乱麻。) 他们比西方人更为保
守。二是，有人认为高尔芳根本不懂他研究的东西，尽管他早在50 年代末就做
过重要工作，所以高尔芳就成了苏联科学院“精简-创新”的牺牲品。我们在这
里猜测，如果外斯、朱米诺(Julius Wess，Bruno Zumino)1974 年的文章早发表两
年， 如果西方早两年就重视超对称，也许高尔芳的运气要好一些。高尔芳1990
年举家去了以色列。
在西方，超对称的发现顺着完全不同的思路，最早的超对称的发现竟源于
弦论。皮埃尔-雷芒(Pierre Ramond) 当时在费米实验室工作，1971 年，弦论被
正式确认只有一年，他考虑如何在弦论中引进带半整数自旋的激发态(即费米
子)。作为狄拉克矩阵的推广，他在弦运动起来的世界面上引进了费米场，并满
足周期条件。非常类似狄拉克，雷芒的理论中所有弦的激发态都是时空中的费米
子。注意，这里我们有意将时空与世界面区别开来，前者是弦运动的舞台，而后
者类似粒子的世界线。虽然雷芒的理论中只有时空中的费米子，而弦的世界面上
既有费米场，也有玻色场，这些我们留到后来再详加解释。同年， 吉尔维(Jean
Gervais) 和崎田文二(Bunji Sakita) 发现如果将雷芒的理论写成世界面上的作用
量，则这个作用量具有两维的超对称，这是出现在西方的第一个超对称作用量，
与苏联人几乎同时。雷芒的理论现在又叫雷芒分支(Ramond sector)，因为它是两
种可能的分支之一。
作为一个小插花，我们谈一点关于雷芒的掌故。雷芒并没有因为第一个研
究费米弦而得以永久留在费米实验室，尽管他在弦论中第一次引入费米的名字。
现在费米实验室理论部的有些人谈到这件往事时往往半自嘲、半开玩笑地说，我
们费米实验室从来不做弦论，我们已将超弦的创始人之一给解聘了。雷芒是很有
幽默感、很健谈的人，也很喜欢谈掌故。我记得有一年夏天在亚斯本遇到雷芒，
在一次午饭聊天中，他向一些年青人讲我们上一节提到的威尔逊的故事。有人问
他，如果威尔逊没有发现重正化群和临界现象的重正化群理论，谁会发现它？(在
此之前雷芒已谈到一些量子场论中的大人物，为了不得罪人，我们姑将姓名隐去。)
他说，坎(Ken，威尔逊的名字)；再问一次，他仍然说坎，可见他对威尔逊的佩
服程度。当然，绝大部份真正懂威尔逊理论的人都很佩服他，不懂就无从佩服起
了。我相信我的读者也都很佩服，看一看上一节贴出后的热烈讨论！雷芒也是少
数自己的名字在一个专业名词中出现两次的人，这个名词就是超弦中雷芒-雷芒
分支。有一次他访问芝加哥，参加一个超弦的学术演讲。当时他是听众之一，我
也有幸在场。当演讲者提到雷芒-雷芒分支时，听众中的杰夫-哈维(Jeff Harvey) 扭
头问他：“皮埃尔，谁是另外一个雷芒？”全场绝倒。
写到这里，真想再一次遇到他，犹其在我写这个演义的时候，这样可以从
他那里贩卖一些关于弦论的掌故。象现在这样写下去，迟早要抖尽肚皮里的一点
点存货。
以上是大家爱听的八卦，现在是谈一谈到底什么是超对称的时候了。我们
先从大家熟悉的对称性讲起。日常的对称性有分立的对称性和连续的对称性，前
者如一个正四边形，将之转动90 度，还是原来的正四边形；后者如一个球面，
以球心为原点，无论怎么转，还是原来的球面。这是一个物理系统固有的对称性，
或一个物理态的对称性。在一个物理理论中，还有一种动力学的对称性。例子是，
假如一个态本身不是转动不变的，但我们将之转动后，
同时还转动用以描述它的座标，这样这个态的一切动力学性质和转动之前
完全一样，这表明空间本身的各向同性和物理系统本身与空间的方向无关联性。
在一个物理理论中，一个转动操作对应于一个算子，它将一个态映射到另一个态。
现在，我们前面例子中的两个性质可以翻译成数学语言。空间本身的各向同性等
于真空本身作为一个特别的态在这个算子的作用下不变；物理系统本身与空间的
方向无关联性等于这个算子与哈密顿量对易(量子力学)或它与哈密顿量的泊松
括号为零(经典力学)。
量子力学的法则告诉我们，一个算子如与哈密顿量对易，则它所对应的物
理量是守恒的。对应一个转动算子，我们还没有一个物理量，原因是，这个转动
算子是保长的，即保持态的内积不变，如我们提到的真空态。这样的一个算子叫
酉算子，而一个物理量算子是厄米特算子。连续群的定理保证我们可以用厄米特
算子构造酉算子，对于转动来说，相应的厄米特算子就是角动量。如果真空在酉
算子作用下不变，那么它在相应的厄米特算子的作用下为零，也就是说真空没有
角动量。我们可以将不同的态分类成角动量的本征态，但是一个任意态未必是本
征态。
在量子场论中，有一类算子永远没有物理的本征态，尽管它们可以是厄米
特的，这一类算子就是费米算子。怎么理解一个费米算子？可以将希尔伯特空间
分成两个正交的子空间，一个子空间中的态全是玻色态，另一子空间中的态全是
费米态，现在，定义一个费米算子，它将一个子空间中的态映射到另外一个子空
间中的态。这还不是全部定义，我们再加上一个条件，就是，任一个可实现的物
理态不是玻色态就是费米态，而不能是一个玻色态和一个费米态的混合。这样，
很明显，一个费米算子就没有物理的本征态。根据量子力学，一个费米算子就不
是一个可观测量。
尽管如此，一个费米算子可能与哈密顿量对易，也就是说在它的作用下，
动力学是不变的，这就是一个超对称。超对称之所以是超的，原因是它将一个“超
选择分支”(super-selction sector) 映射到另一个“超选择分支”。最简单的情形是，
它将一个玻色子转动成一个费米子。这个性质与通常的对称性很不相同，通常的
对称性是将两个态联系起来，这两个态完全可以通过动力学过程互相转变。如一
个向上自旋的电子，通过转动变成相下自旋的电子，这个转动完全可以通过一个
物理过程来实现。而一个超对称变换可以将一个电子变成一个标量粒子，但一个
电子本身永远不会通过一个物理过程变成一个无自旋的粒子。我想，这种性质对
一个初学超对称的人来讲是一个最大的困惑，因为我们太习惯于普通的对称了。
我们可以想象转动一个正方形，但不能想象将一个正方形转成一个“超正方形”，
如果后者果真存在的话，因为这种转动不是一个物理过程，因为该转动不是可观
测量！
除了超对称之超外(没有对应的物理过程，也不是可观测量)，它具有一切与
对称相同的性质。例如，如果一个玻色系统，如两个玻色子或两个费米子或10
个费米子，有一定的能量，在超对称变换后，我们得到一个费米系统，这个费米
系统无论怎样与前面的玻色系统不同，它有着相同的能量。再如，如果我知道两
个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量，通过超对称变换，我就知道变换后的
一个费米子和一个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量。原因很简单，就是这
个超对称保持动力学不变，它与哈密顿量对易。
(第三节)
通过上面的解释，我们看到超对称既有类似于一般对称性的地方，也有很
不相同的地方。这种不相同的地方往往引起初学者的迷惑，由此可知对于发明超
对称的人来说，非凡的想象力和大胆是不可或缺的。
那么，既然超对称原则上可以存在，什么样的超对称可以在相对论量子场
论中实现？对于一般对称性来说，我们要求有一个群结构或李代数结构。一个转
动后再做一个转动，我们还是得到一个对称转动，这是群的结构。这个要求在无
穷小的变换下翻译成李代数的要求。现在，我们将这个要求加于一个对称元和一
个超对称元，我们得到的结论是，这个对称元和一个超对称元的对易子必是另一
个超对称元。如果我们想用超对称元来构造群，我们就得用一种新的数，相互是
反对易的，叫格拉斯曼数(Grassman)，原因还是因为超对称不是通过物理过程
实现的对称，所以其对应的转动参数不是实数或复数，否则我们可以问这个参数
的物理含义，就象通常转动的转动角一样。
以上所写，已经不很通俗了，我还没有更简单的办法，如有，就得象费曼
写<> 一样，上面的一段话将被拉长几倍或几十倍。所以为了节省大家的时间，
特别是作者自己的时间，我们还是假定读者已有一定物理背景，或是天才儿童。
这样我写完一段话后还有一些时间看真正的研究论文，挖空心思想一点怪招好凑
一篇论文，用以对付上司每年索要的年终总结。否则，我真的要改行写科普，好
混一点稿费，研究员就可以不当了。
回到原来的话题，什么样的超对称是允许的。我们已说到一个超对称元和
一个对称元的对易子必是一个新的超对称元，把所有这样的对易子放到一起，我
们发现超对称元的集合形成对称李代数的一个表示。在相对论量子场论中，最重
要的对称就是彭加勒对称，所以超对称元形成彭加勒代数的一个表示。在四维中，
最简单的费米子表示就是旋量了。超对称中有几个这样的旋量，我们就说这是N
等于几的超对称。高尔芳和利特曼1971 年发表的场论就是N 等于1 的超对称场
论。
在西方，最早的超对称是在弦的世界面上发现的，这就是1971 年的吉尔维
-崎田文二两维超对称场论。弦论中的时空超对称的发现是很后来的事，我们等
一会儿再谈。朱米诺似乎是注意弦论中时空超对称的第一人，这也许启发他后来
与外斯一道发现四维的超对称和超对称场论。在1974 年的外斯-朱米诺的工作中，
他们构造了四维时空中最简单的超对称场论，这个场论只含一个基本的旋量场
(只有两个自旋为1/2 的粒子，形成一个旋量表示)，两个标量场。之所以有两个
标量场也是因为有超对称，根据我们上一节说的道理，有多少费米态就应当有多
少玻色态。这个最简单的超对称场论一般称为外斯-朱米诺模型，是两个外斯-朱
米诺模型之一。另外一个外斯-朱米诺完全与超对称无关。
朱米诺应是所有年纪稍大而在事业上无大成的人的榜样，他是一个大器晚
成的人。我经常以朱米诺的例子来期许自己和他人，也许我最终也难成大器，但
这仍不失是取法乎上得乎其中的办法。在1973 年底他和外斯完成4 维超对称的
理论，他已超过50 岁，外斯也接近40 了。他与外斯的另一重要工作，即另一外
斯-朱米诺模型也不过是1971 年的作品。毫无疑问，超对称是他一生最重要的工
作。我还不知道在粒子物理这一竞争激烈的领域(注1) 还有第二个人能在50 开
外作出他一生最重要的工作。
朱米诺和外斯在同一年将他们的超对称场论的推广到含有自旋为1 即光子
的情形，这也就是3 年前高尔芳和利特曼构造的理论。朱米诺和外斯还研究了这
个理论的量子性质，发现超对称有助于使紫外发散减弱，当然他们在第一篇文章
中已讨论过量子行为。
接触过量子场论的人都知道，任何场论中都有发散的零点能。对于一个自
由场论来说，场的每个富里叶模是一个谐振子，根据量子力学的测不准原理，谐
振子不可能处于能量为零的状态，它的最低能不为零，这就是零点能。当谐振子
处于第一个激发态时，对应于一个基本的量子，或粒子，其动量和能量与这个模
相同，而零点能只有一个粒子的一半，所以不能将它解释成一个可观察到的物理
态。我们因此将之归于真空的能量，将所有模加起来，这个能量是无限大，这个
无限大显然来自紫外的模，我们在本章第一节中一提到过，这对应于空间在小尺
度上没有截断。奇怪的是，来自一个玻色子的零点能是正的，而来自一个费米子
的零点能是负的。如果对应一个玻色子，存在一个有相同质量的费米子，那么两
者的零点能就完全抵消。超对称理论恰恰有这种性质，所以超对称理论中，我们
无须人为地扔掉自由场的零点能。
对于每一个场，如果我们引进动量上的截断，零点能的密度则是这个截断
的4 次方，这是4 维场论中的最大的发散。考虑一个可重正的场论，如果理论中
没有标量场，除去零点能外，最严重的发散是对数发散，如量子色动力学。标准
模型含有标量场，就是黑格斯(Higgs)，标量场涉及的最严重的发散是二次发散。
这种发散带来所谓的等级问题(hierachy)。等级问题最简单的描述是这样的，标
准模型中的最大能标是弱电自发破缺能标，大致可以看成是黑格斯场的一个耦合
参数，数量级大约是100 京电子伏(100 Gev)。考虑在标准模型之上还存在一个
新能标，如普朗克能标。假定在弱电能标和这个新能标之间没有另外能标，通过
重正化流，这个新能标会在标准模型的各个参数中体现出来，如弱电能标。由于
标量场的二次发散性，弱电能标含有一个与新能标的平方成正比的项，另一项是
弱电能标这个耦合参数在新能标上的“裸”参数。我们要求弱电能标是100 Gev，
我们就必须要求其“裸”参数与新能标的平方几乎抵消，这就是所谓的微调问题
(fine tuning)。有了超对称，与新能标的平方成正比的项不再存在，所以80 年代
初很多人研究超对称大统一理论。这是超弦集团之外的唯象粒子物理学家相信超
对称存在的主要原因之一。
超对称的生成元越多，无限大的抵消就越成功，但人们为此付出的代价是
模型越来越不现实。当理论有8 个超对称元，也就是N 等于2 的超对称，极小
理论中的费米子增加到4 个，不再是具有唯一手征的理论，但是标准模型中的弱
相互作用破坏宇称，必须是带手征的。我们可以暂时不管这个实际问题，一直增
加超对称的数目，我们就会发现当超对称元的个数超过16 时，我们不得不引进
自旋为2 的粒子以构造超对称多重态，这样就引进了引力。所以不包括引力的最
大超对称有16 个元，也就是N 等于4 的超对称。实现这个超对称的场论一定
包含规范场，这类场论几乎是唯一的，只有两个参数可以改变，一个是规范群，
或即群的种类和阶数，另一个是耦合常数。这类极大超对称场论在80 年代初被
三组不同的人证明是完全有限的。而实现N 等于2 的超对称场论在微扰论中只
有单圈发散。
N 等于4 的超对称规范理论的有限性在当时看来是唯一的，记得有一位德
高望重的人说(忘记是谁了)，他当时相信这个理论一定有很大的用处，上帝造
出这么完美的理论而不加利用是不可能的。他等了几年，人们并没有发现这些理
论与粒子物理有什么关系，他从此再也不相信超对称理论有什么用处了。N 等
于4 的超对称规范理论的确有许多与众不同的地方，后来它们在超弦发展中起了
很大作用，如强弱对偶，反德西特(de Sitter) 空间上的量子引力与超对称场论的
对偶。
也是在1974 年，萨拉姆(Abdus Salam) 和斯特拉思蒂(J. Strathdee) 在看到
外斯、朱米诺的工作后很快发现了超空间表示。发现这一点似乎不需要太多的想
象力，如果通常的对称性与可观察到的时空有关，如空间的平移和空间中的转动，
那么超对称就应和超空间有关。的确，萨拉姆和斯特拉思蒂证明超对称变换可以
被看成是超空间中的平移，这些超空间座标是格拉斯曼数，从而是不可观察到的，
这正类似于超对称变换不是实验室中可实现的变换，但是，如果人们将来发现超
对称粒子，就等于间接地发现了超空间。我为了写这段话查了一下萨拉姆和斯特
拉思蒂当年的文章，发现虽然预印本是74 年11 月的，发表该文的核物理一期也
是74 年的。可见发表的速度实在与是否处在电子信息时代无关。虽然我说发现
超空间不需太多的想象力，并不意味着对于一个新手来说超空间是很容易接受
的。记得当年年轻气盛，考研后问我的老师什么是最时髦最有前途的研究方向，
老师随手从书架上拿了一本法叶(P. Fayet) 和费拉拉(S. Ferrara) 1976 年写的超
对称评述。我拿回去之后发狂猛啃，很坐了一段飞机。现在回想，如在昨日，当
年对超对称的生吞活剥也许在日后起了一点作用。
注1：之所以讲粒子物理是一激烈的领域并非因这一领域对人的智力或体力
或任何其它能力的要求与任何其它领域有何不同，凝聚态物理中就有许多很难的
问题需要特殊的智力才能解决。粒子物理与众不同的地方在于问题比较集中，人
力的投入也比较集中。其它领域如凝聚态物理中问题比较分散，学派比较多，一
个派别如同一个庄园，有大庄主二庄主三庄主，有打长工的也有打短工的。当然
每位庄主也少不了有一帮弟子。所以这么一个派别可以自给自足，在江湖上扬名
立万。写这么长的注记以博大家一笑。
(第四节)
谈过超对称量子场论之后，我们回到弦论中的超对称这个话题。毕竟超对
称在西方的发现源于弦论，所以应当追溯一下历史以了解超对称超引力在西方发
展的脉络，这样做以达到孔夫子所说的温故而知新。
在第二节中我们谈到雷芒在弦论中引入费米子，所有弦的模式在时空中的
体现都是费米子，因为他在弦的世界面上引入了类似狄拉克矩阵的东西。世界面
上也因此有了超对称，但时空中没有超对称，因为只有费米子。从某种意义上来
说，狄拉克1928 年引入狄拉克矩阵就等于在粒子的世界线上引进了超对称。狄
拉克算子的平方是达朗贝尔算子, 就如同超对称算子的平方等于哈密顿量。1974
年，法国人纳吾(A. Neveu) 和我们在第一章就提到的史瓦兹希望能在雷芒的模
型中加入时空中的玻色子。为了避免狄拉克矩阵的出现，他们要求雷芒的世界面
上的费米场没有零模，这样所有的模的阶就必须是半整数，换句话说，世界面上
的费米场满足反周期条件。这样构造出的弦的激发态都是时空中的玻色子。这个
新的分支叫纳吾-史瓦兹分支，独立于雷芒分支。注意，对于纳吾-史瓦兹分支来
说，世界面上仍有超对称，因为世界面上的超对称是局域的。当然，1974 年还
没有人知道什么是局域超对称，在超引力发现之后，1976 年布林克(L. Brink)、
蒂韦基亚(P. Di Vecchia)、豪(P. Howe) 等人才发现原来的两维世界面上的超对
称其实是局域的。后来我们更详细地谈超弦的时候，我们还要回过头来谈两维局
域超对称的重要性。
将费米弦的两个分支，雷芒分支和纳吾-史瓦兹分支，加起来，似乎就有了
时空超对称，事情并没有这么简单。超对称的一个基本要求还没有被满足，就是
给定一个质量，必须有相同多的玻色子和费米子。要等到1976 年，也就是外斯-
朱米诺工作的两年之后，一个意法英联军，格里奥日(F. Gliozzi)、舍尔克和奥
立弗(就是那位奥立弗-曼通宁对偶中的奥立弗) 发现可以将两个分支中的一些
态扔掉而不破坏理论的自恰性，这样得到的理论有同样多的玻色子和费米子。他
们还不能立刻证明时空超对称，但他们作了这样的猜想。要再等5 年，这个经过
所谓的格舍奥投射(GSO projection)的雷芒-纳吾-史瓦兹理论才由格林(Michael
Green) 和史瓦兹证明具有完全的时空超对称，他们也同时证明，这些超弦理论
包含相应的时空超引力。
超对称被发现之后，对一部份人来说，超引力的存在就是显而易见的事了。
杨-米尔斯构造规范理论不久，内山菱友( Ryoyu Utiyama) 用规范对称重新解释
了爱因斯坦的引力理论。对于内山来说，引力场无非是对应于时空平移的规范场，
也就是说，如果我们要求时空平移不仅仅是整体对称性，同时也是局域对称性，
我们就要引进引力场来使平移“规范化”。超对称是时空对称性的推广，特别是，
两个超对称元的反对易子给出一个时空平移。这样，如果我们将时空平移局域化，
我们就不得不将超对称也局域化，反之亦然。如此得到的理论就是超引力。在这
个理论中， 对应于时空平移的引力场仍在，对应于超对称的规范场是自旋为3/2
的场，通常叫做引力微子，这是一个费米场。有一个简单的方法来判断规范场的
自旋，如果局域对称性是一种内部对称性，也就是说对称元不带时空指标，那么
相应的规范场比对称元多一个时空的矢量指标, 相应的粒子自旋为1；如果对称
元带一个空间矢量指标，则规范场带两个空间矢量的指标，这就是引力场；进一
步，如果对称元带一个旋量指标，如超对称，那么规范场就多带一个空间的矢量
指标，这个场就是引力微子场了。
首先在4 维时空中构造超引力的三位中有两位当时在纽约州立大学石溪分
校。1976 年以前，三位仁兄各做各的事情。范-纽文豪生(P. van Nieuwenhuizen) 基
本做引力的微扰量子化，明显是受了他的老师蒂尼-维尔特曼(Martinus Veltman)
的影响，佛里德曼(Daniel Z. Freedman) 大约是个唯象学家，费拉拉(Sergio
Ferrara) 则是唯一做超对称的。当然他们都有研究唯象学的底子。据范-纽文豪生
说，他们的第一个超引力模型，4 维的N 等于1 超引力，一半是靠手算，一半
是靠计算机折腾出来的。记得我当年于生吞活剥法叶-费拉拉之后，接着去找来
范-纽文豪生的超引力综述。这回更是云山雾绕，什么1 次方式(first order
formalism)，2 次方式，最后又搞出1.5 次方式。1 次方式大约是说，你将度规场
和联络场都看成是独立的场，2 次方式则将联络看成是度规的涵数，天知道1.5
次方式是什么，有兴趣参看范-纽文豪生的综述。
一个最简单的、经典的超引力已将人折腾得七荤八素，更不用说复杂的超
引力了。N 等于2 以上都叫推广的超引力(extended SUGRA)，当然这种翻译有
点勉强。我当时觉得还是泛超引力来得简洁些，省了两个汉字，现在看来，乾脆
就叫超引力算了。4 维中有很多不同的泛超引力，一直到N 等于8。当N 超过
8 时，就必须引进自旋大于2 的场了，这从场论的角度来看，似乎是危险的，因
为人们不知道如何构超自恰的场论。N 越大，对称性越高，场的数目就越多。
广义相对论中只有10 个场，就是度规的份量，在N 等于8 的超引力中，仅仅
标量场就有70 个。场多了的好处是，有可能将标准模型中所有的场都纳入一个
超对称多重态中，坏处是作用量越来越复杂，不是专家不可能写对作用量。从统
一的角度看，N 等于8 的超引力还是不够大，因为规范群是O(8)，还不能将标
准模型的规范群放进去。
超引力除了可以在N 的方向推广，也就是引进越来越多的超对称，同时也
可以在D 的方向推广，就是引进越来越高的维数。D 最大的可能是11，再大
就要引进高自旋场。这两个方向实际上是相关的，低维的泛超引力可以由高维的
简单一点的超引力通过维数约化得到(dimensional reduction)，如4 维的一些N 等
于2 的超引力可以由6 维的N 等于1 超引力得到。而4 维的N 等于8 的一些超
引力可以由11 维超引力通过维数约化或紧化(compactification) 得到。所以一时
之间，很多人认为11 维超引力就是终极理论了。霍金说，基于谨慎乐观的态度，
有理由相信，一个完备的理论已经逐渐成型，理论物理快到头了。
超引力与超对称场论一样，紫外发散比没有超对称来得轻得多。超对称的
数目越多，紫外行为越好。在任何一个4 维超引力中，单圈和双圈图都是有限的，
这个性质在超引力出现一年之后就被发现。虽然紫外发散要在三圈才出现，在超
引力时代还没有人敢计算三圈图(想一想，经典作用量已经那么复杂！)，直到最
近才有人计算三圈图，而用到的计巧居然是弦论中的技巧。最新的结果表明，极
大超引力的两圈图直到6 维都是有限的。也就是说，11 维超引力仅仅在单圈才
是有限的，所以从重正化的角度看，11 维超引力比爱因斯坦的理论好不了多少。
最新的结果又表明，4 维的极大超引力可能在四圈上也是有限的，这比老结果要
好。
无论超引力的紫外行为多么好，或迟或早人们要遇到发散。这使得人们渐
渐对超引力失去信心，当然终结超引力的8 年疯狂时代的是第一次超弦革命。
我念研究生时恰逢超引力时代的尾巴，已经强烈感受到热力，把研究生仅
有的一点经费都用来复印超引力的文章，后来装订成厚厚的几大本，成天把脑袋
埋在超引力的张量计算中。我甚至在科大的研究生杂志上写过一篇介绍超引力的
文章，开头用了“上帝说要有光，于是就有了光，” 可见信心十足，不过当时校
对的人太懒，文章错字连篇。
超引力造就了一代不畏臃长计算的人。超引力的三位创始人都是天然计算
机。以范-纽文豪生为例，当时他是领导潮流的人。美国超弦的公众人物之一贺
来道夫(Michio Kaku) 在他的科普作品《超空间》(Hyperspace) 中有一段描写，
不妨转述如下(不是字字照抄，这一节还请打假诸兄注意)。范-纽文豪生生得高
大威猛，最适合做防晒油的广告明星。研究超引力需要非凡的耐心，而范-纽文
豪生是最非凡的一个。温伯格(Steven Weinberg) 说，“看看超引力的情形，在过
去的10 年中研究超引力的人个个杰出，有些人比我年轻时认识的任何人更为杰
出。” 范-纽文豪生用一个硕大无朋的夹纸板，每次演算，从左上角开始用蝇头
小草一直写到右下角，写满后翻过一页接着写。他可以一直这样演算下去，中间
唯一的间隙用来将铅笔放进电动削笔刀中削尖，接着继续演算，直到数小时后大
功告成。有一段时间，石溪分校物理系的研究生竞相仿效，每人夹着一个大夹纸
板在校园中走来走去，不可一世。
超引力风流一时，而超引力中的领袖人物也领导潮流于一时。超引力在我
们的演义中还会出现，还在起很大的作用，尽管如此，过去的风流人物大多不再
活跃，不免使人生出许多感慨：江山代有才人出，各领风骚三五年。
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朋友，你有二三十岁了吧，这些年你一定碰到过你的梦中情人，
你很想得到她，可是你不敢;
我有一位朋友，他经验实足，只是最近在忙于追一个女孩子，
但只要你肯向他讨教，
他一定可以帮你解决这个问题....

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