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发信人: redfox (不知道什么名字好), 信区: Science
标  题: 没人看月亮时她是否还在那儿(6)Bell 定理
发信站: 哈工大紫丁香 (2000年07月10日14:47:17 星期一), 站内信件

没人看月亮时她是否还在那儿(6)Bell 定理  
　　1964 年，J.S.Bell 在 Physics I 上发表了一篇论文，指出任何企图保持 
Einstein 定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容．这是著名的 Bell 
定理．Bell 利用 Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式， 说明了定域性隐变
量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的． 

　　假设如同前面 Bohm 的实验装置，A, B 侦测器可以被安排成测量 a, b, c 三
个不同方向的自旋分量．a, b, c 三个方向是任意的，不需要互相垂直， 甚至可
以在同一个平面上． 如果，粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域
性隐变量理论所预期的)， 如 (a+,b+,c-), 代表了粒子进入 a 方向的侦测器结果
将是正的， b 方向结果也是正，而 c 方向结果为负．由于两个粒子自旋方向相反
， 这样的组合共有八种，如下所示： 

　　 粒子 1 粒子 2 

　　N1 (a+,b+,c+)(a-,b-,c-) 

　　N2 (a+,b+,c-)(a-,b-,c+) 

　　N3 (a+,b-,c+)(a-,b+,c-) 

　　N4 (a-,b+,c+)(a+,b-,c-) 

　　N5 (a+,b-,c-)(a-,b+,c+) 

　　N6 (a-.b+.c-)(a+,b-,c+) 

　　N7 (a-,b-,c+)(a+,b+,c-) 

　　N8 (a-,b-,c-)(a+,b+,c+) 

　　重复这样的实验 N 次，设各种情况出现次数分别是 N1, N2,... N8. 自然的
， N1+N2+......+N8 = N. 

　　令 P(a+,b+) 表示 A 侦测器在 a 方向测得结果为正，B 侦测器在 b 方向测
得结果为正的机率．而 P(b+,c-) 表示 A 侦测器在 b 方向测得正，B 侦测器在 c
 方向测得负的机率，等等．例如，P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = 
(N1+N4)/N． 

　　现定义 a, b 方向的相关程度系数 E(a,b) 为 

　　E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+) 

　　注意到 E(a,b) = E(b,a)． 它代表了 A, B 侦测器在 a, b 两方向测量结果
的相关程度．例如，在 a=b 时，P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而 P(a+,b-) = 
P(a-,b+) = 1/2, 因此 E(a,a) = -1. 这表示说若 A, B 侦测器被安排成测同方向
的自旋分量，所得结果必定相反．又如，a=-b, E(a,-a) = 1, 即 A, B 的结果必
相同． 如果 a 和 b 相互垂直，则 P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,
b+) = 1/4, 所以 E(a,b) = 0. 这是说如果两侦测器所测的方向互相垂直，则两者
的结果没有任何相关． 由此可见这个定义符合我们对「相关」的直觉含义． 

　　根据定义，我们有 

　　E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N 

　　同理 

　　E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N 

　　E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N 

　　现在因为 Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数，因此 

　　2(N3+N6-N2-N7) ≤ 2(N3+N6+N2+N7) 

　　两边加上 N1+N4+N5+N8, 得 

　　2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤ N3+N6+N2+N7+N 

　　同除以 N, 得 

　　2(N3+N6-N2-N7)/N ≤ (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1 

　　我们发现不等式右边即是 E(c,b) + 1, 而左边是 

　　E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N 

　　同理， 

　　-E(c,b) - 1 ≤ E(a,b) - E(a,c) 

　　因此 

　　|E(a,b) - E(a,c)| ≤ 1 + E(c,b) 

　　这就是著名的 Bell 不等式．这对任意方向的 a, b, c 而言都成立． 

　　现在，让我们来看看 Bell 不等式和量子力学的预测是否相符． 我们要以量
子力学的方法去计算 P(a+,b+), P(a+,c+) 以及 P(c+,b+). 令 S．a, S．b, S．c
 的本徵态分别是 |a+>,|a->, |b+>,|b-> 和 |c+>,|c->. 例如，要计算 P(a+,
b+), 我们假设粒子 1 进入 a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因
此，粒子 2 必将处于 |a-> 的状态．在 B 处我们测量粒子 2 的 b 方向自旋分量
． 按量子力学，我们必须将 |a-> 按 |b+> 和 |b-> 展开． 

　　如果 a, b 两方向的夹角是 θab, 那么结果是(up to a phase constant) 

　　|a-> = sin(β/2 )exp(-iα/2)|b+> - cos(β/2)exp(iα/2)|b-> 

　　其中 α, β, γ=0 是 Euler 角(把 b 放在 z 轴上), β = θab. 如图五所
示． 
 

　　所以，粒子进入 b 方向侦测器得到结果是正的机率是 

　　sin2(θab/2) 

　　因此 

　　P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2 

　　同样的 

　　P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2 

　　以及 

　　P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2 

　　所以 

　　E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a．b 

　　同理 E(a,c) = -cosθac, 

　　E(c,b) = -cosθcb 

　　根据 Bell 不等式，我们得到 

　　|cosθac - cosθab| ≤ 1 - cosθcb 

　　对任意的 a, b, c 皆成立． 
 
　　然而，我们发现这是不可能的．例如，让 a, b, c 在同一平面上，而且 b 就
在 a,c 的角平分线上，如图六所示． θab = 2θ，θab = θcb = θ，于是 


　　cos2θ - 2cosθ + 1 ≥ 0 或 cos2θ ≥ cosθ 

　　当 0 < θ < π/2 时，显然是不可能的． 

　　J.F.Clauser 及 M.A.Horne 等于 1969 年改进并推广了 Bell 不等式． 他们
的方案是利用光子对的偏振(polarization)相关性．Clauser 等并提出了可行的实
验，检验 Bell 不等式． 其它如 E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都
相继提出了类似的不等式． 由于 Bell 不等式完全基于 Einstein 的定域性原理
，因此 Bell 定理提供了检验定域性原理的一项利器．如果实验结果证实 Bell 不
等式是对的， 那么就违反了量子力学的预测；相反的，如果实验结果违背了 Bell
 不等式，也就同时否定了 Bell 不等式的前提，Einstein 定域性原理． 

　　终于，这场论战又从哲学回到了物理，等待实验来判定谁胜谁败．
 

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