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标  题: 数学史上的一桩错案(转寄)(转寄)
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标  题: 数学史上的一桩错案(转寄)

发信站: BBS 水木清华站 (Thu Sep 16 16:40:26 1999)

                 数学史上的一桩错案

                    ·万精油·

　　从前教微积分时感觉最难过的关就是极限的概念。反反复复许多遍很多学

生仍然是不得要领。有关极限的题目当然大多数人都不会做。偶尔不小心做对

了也是因为考试前刚好复习过同样的题目。概念上是绝对没有搞清楚的。大多

数学生见到极限的题目就头痛。一直到下半学期讲到罗毕塔法则，学生们高呼

救星到了。甚至埋怨我为什么有这么省事的公式不早点教，害得他们辛苦大半

学期。没有极限概念哪里来的导数，没有导数又怎样用罗毕塔法则。这中间的

道理学生们是不会去管它的。总之有好公式不用就是老师坑人。几学期微积分

学下来，大多数定理概念都已经还给了老师，但罗毕塔法则是一定记得住的。

这是他们最喜欢的公式。而且把它当作仙丹妙药，该用不该用的地方都乱用一

气。

　　罗毕塔法则对许多极限问题确实很有效。不过很奇怪的是，历史上其它的

数学家、高斯、欧拉、莱布尼兹、黎曼等等在数学的各个领域都留下了他们的

名字。唯有这罗毕塔就只有孤伶伶的这么一个定理。能搞出这么重要的一种算

法，怎么能在其它方面没有丝毫建树呢？原来，罗毕塔并不是什么大数学家。

这所谓的罗毕塔法则也不是他搞出来的，而是他花钱买来的。

　　罗毕塔是一个贵族，业余时间喜欢搞一些数学，几乎到了上瘾的地步。甚

至不惜花重金请当时的大数学家贝努利兄弟给他长期辅导。可惜他的才气远远

不如他的财气。虽然十分用功，但他在数学上仍然没有什么建树。贝努利兄弟

当时正与莱布尼兹这样的大数学家交流合作，又正赶上微积分的初创时期，所

以总有最新成果教给罗毕塔。这些最新成果严重地打击了他的自信心。一些他

自己感到很得意，废寝忘食搞出来的结果，与贝努利兄弟教给他的最新结果比

起来只能算是一些简单练习题，没有丝毫创意。另一方面，这些新结果又更激

起了他对数学的着迷。他继续请贝努利兄弟辅导。甚至当他们离开巴黎回到瑞

士以后，他还继续通过通信方式请他们辅导。如此持续了一段时间，他的“练

习题”中仍没有什么可以发表扬名的东西。他内心深处越来越丧气，却又不甘

心。心想，我对数学如此热心，一定要想办法在数学上留下一点东西让人记住

我的名字。终于有一天，他给贝努利兄弟之一的约翰写了一封信，信中说：

很清楚，我们互相都有对方所需要的东西。我能在财力上帮助

你，你能在的才智上帮助我。因此我提议我们做如下交易：我

今年给你三百个里弗尔（注：一里弗尔相当于一磅银子）。并

且外加两百个里弗尔作为以前你给我寄的资料的报答。这个数

量以后还会增加。作为回报，我要求你从现在起定期抽出时间

来研究一些固定问题，并把一切新发现告诉我。并且，这些结

果不能告诉任何别的人，更不能寄给别人或发表……

　　约翰收到这封信开始感到很吃惊。但这三百里弗尔确实很吸引人。他当时

刚结婚，正是需要用钱的时候。而且帮助罗毕塔，还可以增加打入上流社会的

机会。约翰想，罗毕塔最多不过就是拿这些结果到他的朋友那里去显示一下，

没什么大不了的。算盘打下来，这笔交易还是比较化算的。于是，他定期给罗

毕塔寄去一些研究结果，罗毕塔都细心地研究它们，并把它们整理起来。一年

后，罗毕塔出了一本书，题目叫《无穷小量分析》（就是现在的微积分）。其

中除了他的“练习题”外，大多数重要结果都是从约翰寄来的那些资料中整理

出来的。他还用了一些莱布尼兹的结果。他很聪明地在前言中写到：我书中的

许多结果都得益于约翰·贝努利和莱布尼兹，如果他们要来认领这本书里的任

何一个结果，我都悉听尊便。贝努利拿了人家的钱当然不好意思再出来认领这

些定理。这书中就包括了现在的学生们最喜爱的定理罗毕塔法则。贝努利眼睁

睁看着自已的结果被别人用却因与人有约在先而说不出来。罗毕塔花钱买了个

青史留名，这比后来的人花钱到克莱敦大学买个学位化算多了。

　　当然贝努利不愿就此罢了。罗毕塔死后他就把那封信拿了出来，企图重认

那越来越重要的罗毕塔法则。现在大多数人都承认这个定理是他先证明的了。

可是人们心中先入为主的定理名字恐怕是再也变不回来了。

　　关于极限，有一个有很美妙的结果的题目。讲到微积分，极限，我实在是

忍不住要把它提出来。我们以前曾谈到过一些美妙的数学定理，我认为这道题

可以算一个。一直想介绍给大家，但以前没有机会。这次机会来了赶紧把它提

出来。虽然有超越我们这个专栏的范畴之嫌，但考虑到我们的大部分读者是学

过微积分的，估计得罪面还不是太广。另外，有了注一与注二的提示以后，这

道题实际上并不需要用到什么高深的微积分，希望这能缓解一些抵触情绪。下

次的题目一定再回到初等数学来。

【本期题目】

有一个函数序列{a_1,a_2,...,a_n,...}定义如下：

　　a_0=x,a_1=x^x,...,a_(n+1)=x^(a_n),...

求这个函数序列的收敛区间。

〖注一〗：一个数列收敛，就是说当Ｎ趋于无穷大时，该数列

趋于一个常数。函数序列的收敛区间［Ａ，Ｂ］就是对所有的

在［Ａ，Ｂ］中的Ｘ，上面所定义的数列收敛。

〖注二〗：单调有界（上升有上界或下降有下界）数列一定收

敛。

〖注三〗：很明显，当Ｘ＝２时，这个数列发散到无穷大。当

Ｘ＝０时，这个数列在０与１之间跳动，所以收敛区间一定是

在０与２之间。

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