Science 版 (精华区)

发信人: AFisherman (渔父), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(3-2)(转寄)              neo 
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年05月17日13:29:17 星期四), 站内信件

发信人: neo (救世主), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(3-2)(转寄)
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul 16 02:41:30 2000), 转信

发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science       

标  题: 狭义相对论素描(3-2)

发信站: BBS 水木清华站 (Sat Feb 20 13:02:27 1999)

发信人: space (排骨教主), 信区: Science

标  题: 狭义相对论素描(3-2)

发信站: The unknown SPACE (Fri Feb 19 23:45:27 1999), 转信

下面是一些数学变换,使上述共8个方程得到约化. 因为计算复杂,

我直接给约化逻辑:

(18)=>存在矢量势A使:

B(X,t)=curl[A(X,t)]                                (21)

{(21),(19)}=>存在标量势v(X,t)使:

E(X,t)+D[A(X,t),t]=-grad[v(X,t)]                   (22)

{17,20,21,22}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组,

共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以

按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候

关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波

传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程:

L[v(X,t)]-a*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e0;           (23)

L[A(X,t)]-a*D[A(X,t),{t,2}]=-u0*Jf(X,t);            (24)

(23),(24)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), a是一个常数,依赖于介质.

取其中一个分量来研究:

L[Y(X,t)]-(1/a)^2*D[Y(X,t),{t,2}]=0;                     (25)

令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是:

Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at)                            (26)

这里用小x表示一维情形, 是为简单.表示波沿x轴方向传播.f,g是两个任意光滑函数.

g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at).

w=x-at                                             (27)

叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=>

D[x,t]=a                                           (28)

所以a就是相速度.

2. 补(群速度).

必须指出来的是, 这里的速度a是和光传输介质有关系的. 电荷相互作用测量总结成

库仑定律时引入一个参数e0;电流线路的相互作用总结成安培定律时引入一个比例常

数u0; 真空里方程(25)里面的a其实是:

a=(e0*u0)^(-1/2)                                    (29)

在介质中, 因为介质里的原子会被电场E极化; 而同时磁场也会磁化介质;

这电场与介质的相互作用直接改变介质里面电荷与电流的分布. 对最简单的所谓

线性均匀各向同性价值来说, 经过复杂运算, 可以证明只要把以前一切公式里面的

e0和u0换成:

e=(1+ke)*e0;                                        (30)

u=(1+ku)*u0;                                        (31)

其中ke>0,ku>0, 则以前一切在数学上都是适用的. 具体到目前的问题上, 就是介质

里面的电磁波速度变成;

v=(e*u)^(-1/2)                                      (32)

显然小于真空里的速度. 今后把真空里的速度记为:

c=(e0*u0)^(-1/2)                                    (33)

这就是通常所谓光速了.

另外, (26)是一方程(25)的通解. 它表明电磁波波, 不管是什么样的波,

其速度在真空和线性各向同性均匀介质中都是一样, 完全决定于电磁参数{e,u}.

这样的情况下, 电磁波的速度就是就是相速,

所谓群速度和相速度在真空和这线性介质中没有任何差别.

如果你学过傅立叶展开的话, 就知道我们的通解可以被三角函数展开. 这展开的

没一项叫作一个平面波; 每个平面波的形式是:

Exp[i(k*x-w*t)]                                    (34)

显然w/k=v是速度. 对所有可能的k叠加起来就是我们的通解.由于v是由介质

电池参数决定的,所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:

w=k*v                                              (35) 

在不是真空或者均匀线性各向同性的介质中(比如介质是个导体), 我们可以得到

不同于(25)的电磁波方程. 这方程的解也不在有(26)那样的通解形式. 但是平面

波这样的特解常常是方程的解, 并附加条件:

w=f(k)                                             (36)

显然(35)是这里的特例. 再用傅立叶展开, 里面的每个平面波都具有速度:

v(k)=w/k                                           (37)

由于现在w/k不是常数, 所以每个平面波的速度不一样,

以至于我们的初始波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的

速度为:

vg=D[w,k]                                          (38)

这就是所谓群速. 在真空中或者线性均匀介质中, 显然:

vg=v

这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变.

相对论的问题里面, 速度是个大概念. 我们这里引进两个速度概念,

将来都要重新提到. 这里只能笼统说:

相对论有关光速的原理是电动力学协变性的需要. 而我前面讲如此多的电动力学,

是想让大家对电动力学的坚实基础有个印象. 可以说它的原理直接是实验归纳---除

位移电流外, 它是实验的忠实归纳.

但是最后会发现如此忠实于实验的理论和经典相对性有冲突.

这才是光速原理的来源. 至于什么科普书上神经兮兮的"信息的传播"等等, 全是  

哲学考虑, 我不喜欢. 光速原理有一个必要原因, 就是电动力学协变性, 希望大家

记住这点. 我慢慢会把这些都写到bbs上, 但是后面数学越来越多, 我自己也越来越

怀疑自己正在作的事情的意义了.

已经写这样多, 不想半途结束. 今后没人看, 我自己当复习吧.

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