Science 版 (精华区)

发信人: AFisherman (渔父), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相 neo 
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年05月17日13:29:26 星期四), 站内信件

发信人: neo (救世主), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相速,群(转寄)
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul 16 02:41:31 2000), 转信

发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science       

标  题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相速,群

发信站: BBS 水木清华站 (Mon Feb 22 09:20:36 1999)

发信人: space (排骨教主), 信区: Science

标  题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相速,群

发信站: The unknown SPACE (Sun Feb 21 16:22:33 1999), 转信

Maxwell方程组; 介质划分; 相速度; 群速度.

在这节以前, 讲得比较散. 好在前面几节已经至少达到一个目的: 告诉了电磁场规律是

如何从实验总结而来. 今后的讨论, 直接从Maxwell方程组开始. 为这目的, 以比较紧

凑的形式从Maxwell方程组开始, 定义不同介质;定义两个速度:相速度和群速度;详细讨

论群速度; 证明任何介质中电磁波速度小于真空中电磁波速度(所谓光速).

等这一切准备好以后, 就可以讨论电磁学方程组的协变问题, 然后自然指出SPR的光速

独立原理的必然性.

关于群速度问题, Jackson里面有一节讲这个, 非常精采

细致. 我就按他的讲了.另外, 电磁波在任何介质中速度小于光速, 也按Jackson的材料

讲.

1. 电磁场方程组(Maxwell方程组):

div[D(X,t)]=pf(X,t)                                (1)

div[B(X,t)]=0                                      (2)

curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t]                          (3)

curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t]                   (4) 

其中D叫作电位移矢量, 定义为:

D=e0*E+P                                           (5)

e0是库仑定律中引入的比例常数;

E是电场; P代表介质中的原子分子等受电场极化产生的偶极距密度. 既然P有E引起,

可写为:

P=G1(E)                                             (6)

G1是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知D也唯一被电场E决定.

(4)中的H叫做磁场强度, 定义为:

H=(B/u0)-M                                        (7) 

u0是安培定律中引入的比例常数;

B是磁感应强度; M 表示由于受磁场作用而引起介质的磁偶极距:

M=G2(B)                                           (8) 

G2是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知H也唯一被磁场B决定.

方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是解E,B.

把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E,B的非常复杂的方程组, 并且依赖于具体介质对

电磁场的感应方式G1和G2.

2. 根据G1和G2划分介质类型.

2-1. 均匀线性各向同性介质.   

线性表示P的任何分量是E的分量的线性组合(同理M是B的线性组合),

也即P可以表达为一个矩阵作用在E上:

P=A.E

A还可能是位置的函数, 表示介质不同部分性质可能不同. 均匀性表示介质性质处处相

同,A不依赖于位置, A是常数矩阵. 各向同性要求A是平行于E:

P=e0*xe*E                                            (9)

同理有:

M=xm/((1+xm)*u0)                                     (10)

xe和xm是为方便定义的两个常数, 它们和e0,u0一起给出了P,M依赖于电磁场的比例常数

.对一切介质, xe>0; 但是xm可正可负(顺磁介质/逆磁介质).

显然在这种介质下,

D=(1+xe)*e0*E=ke*e0*E=e*E                            (11)

B=(1+xm)*u0*B=km*u0*B=u*B                            (12)

{e,u},或者{ke,km},或者{xe,xm}就代表了介质特性, 我把他们叫做介质的电磁参数.

另外, 我们定义一个量:

n=(ke*km)^(1/2)                                      (13)

这叫介质折射率.

2-2. 一点儿推广.

上面的均匀线性合向同性介质明显要求过分苛刻:它要求价值对任何电磁波的响应必须

一样.比如对红光和蓝光的响应必须一样. 实际上从三棱镜可以分光这一事实就知道,

最理想的现实介质, 相应方式其实和电磁波频率有关.所以上面的均匀线性各向同介质

的电磁参数其实是频率的函数.

3. 均匀线性介质中的Maxwell方程组.

把以上讨论带进(1)-(4), 有:

div[E(X,t)]=pf(X,t)/e                              (14)

div[B(X,t)]=0                                      (15)

curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t]                          (16)  

curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t]                  (17)

这里已经忽略掉介质是导体的情形.

{14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组,

共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以

按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候

关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波   

传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程:

L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e;           (18)

L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t);           (19)

{注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足}

E和B可一如下得到:

E=-grad[v]-D[A,t]                                 (20) 

B=curl[A]                                         (21)

(18),(19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程),

重要评注: (18),(19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个自然的电流连

续性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20),(21), 则(18),(19)完全等价于(14)-(17)

. 也就是说, 电磁场规律完全由(18),(19)决定. 讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等

价于讨论(18),(19)两个偏微分方程的协变性.

取其中一个分量来研究:

L[Y(X,t)]-u*e*D[Y(X,t),{t,2}]=0;                     (22)

令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是:

Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at)                            (23)

a=(u*e)^(-1/2)                                      (24)

这里用小x表示一维情形, 是为简单.表示波沿x轴方向传播.f,g是两个任意光滑函数.

g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at).

w=x-at                                             (25)

叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=>

D[x,t]=a                                           (26)

所以a就是相速度.

真空中速度为:

c=(e0*u0)^(-1/2)                                   (27)

介质中速度为:

v=(u*e)^(-1/2)=c/n                                 (28)

n是折射率.

如果介质电磁参数明显依赖于频率, (28)意味着不同频率的电磁波在介质中速度不一样

.

4. 群速度定义.

如前所述, 介质中电磁波速度为:

a=c/n

而如前所述, n一般说来是电磁波频率的函数, 导致不同频率电磁波在介质中跑的不一

样快.

另外, 就我们的均匀线性介质而言, 可以证明

Exp[i(k*x-w*t)]                                    (29)

总是Maxwell方程的一个特解, provided a relation between k and w:

w=g(k)

显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度.由于现在电磁参数是频率w的函数, 所以w/k=v(w

), 是某一特定频率电磁波的(相)速度.

如果v不是w的函数, 那它是一个完全决定于介质的常数.

任何频率的电磁波穿越这介质时速度一样.

对所有可能的k叠加起来就是我们的通解.由于v是由介质

电池参数决定的,所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:

由于每个平面波的速度一般说来不一样,

以至于我们的初始波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的

速度为:

vg=D[w,k]                                          (38)

这就是所谓群速. 在真空中或者与频率无关线性均匀介质中, 显然:

vg=v

这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变.

我们下面一节要专门讲群速度的意义.

另外, 在前面贴的和这里差不多内容的(3-2), 讲得不清楚, 所以看这里的可能好些.

--

※ 来源:·BBS 水木清华站 bbs.net.tsinghua.edu.cn·[FROM: tethys.itp.ac.c]


--
☆ 来源:．哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn．[FROM: mail@ostar.ostar.hit]