Science 版 (精华区)

发信人: AFisherman (渔父), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilea neo 
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年05月17日13:29:41 星期四), 站内信件

发信人: neo (救世主), 信区: Science
标  题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilean不协变(转寄)
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun Jul 16 02:41:33 2000), 转信

发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science       

标  题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilean不协变

发信站: BBS 水木清华站 (Wed Feb 24 14:16:41 1999)

发信人: space (排骨教主), 信区: Science

标  题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilean不协变性及

发信站: The unknown SPACE (Wed Feb 24 01:10:47 1999), 转信

SPR两个原理里面有一个是信念: 物理规律不该依赖于惯性系的选择.

在经典相对性里面, 力学规律就是Newton第二定律. 它明显是独立于(惯性)坐标系选择

的.

但是现在关于电磁场的物理规律, Maxwell方程组, 则被发现如果按照经典相对性, 这

规律是依赖于坐标系选择的. 下面这节就要讲这个问题.

首先我们还是要回顾Maxwell方程组:

1. 电磁场方程组(Maxwell方程组):

div[D(X,t)]=pf(X,t)                                (1)

div[B(X,t)]=0                                      (2)

curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t]                          (3)

curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t]                   (4)

方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是解E,B.

把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E,B的非常复杂的方程组, 并且依赖于具体介质对

电磁场的感应方式.

2. 均匀线性介质中的Maxwell方程组.

把以上讨论带进(1)-(4), 有:

div[E(X,t)]=pf(X,t)/e                              (14)

div[B(X,t)]=0                                      (15)

curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t]                          (16)

curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t]                  (17)

这里已经忽略掉介质是导体的情形.

{14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组,

共四个偏微分方程;根据Helmholtz 定理, A还有一个规范自由度,i.e.,我们可以

按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz规范, 这时候

关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立求解. 如果电磁波   

传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成经典波动方程:

L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e;           (18)

L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t);           (19)

{注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足}

E和B可一如下得到:

E=-grad[v]-D[A,t]                                 (20) 

B=curl[A]                                         (21)

(18),(19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程),

重要评注: (18),(19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个自然的电流连

续性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20),(21), 则(18),(19)完全等价于(14)-(17)

. 也就是说, 电磁场规律完全由(18),(19)决定. 讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等

价于讨论(18),(19)两个偏微分方程的协变性, 电流连续性条件的协变性,还有Lorentz

规范的协变性.

如果这几个规律同时在坐标变换下协变, 则一定保证Maxwell方程组协变.

我将如下讨论:

A) 首先证明Maxwell方程组在Galilean变换下不协变.

为此只需要证明上述几个条件任意一个不协变即可. 我下面证明波动方程不协变.为简

单记,证明真空中的一维波动方程不不协变. 真空中一维自由波动方程是:

(取其中一个分量来研究)

在我们的实验室参考系K中,

D[Y(x,t),{x,2}]-u0*e0*D[Y(x,t),{t,2}]=0;                     (22)

D[Y(x,t),{x,2}]是对位置x的二阶导数, 同理D[Y(x,t),{t,2}]是对时间t的二阶导数.

现在考虑运动中的惯性系K', 设它的x'轴于K重合, y',z'两轴于K有相同指向; 再设K'

以速度V沿K的x正向运动. 那么Galilean变换为:

x'=x-v*t, y'=y,z'=z,t'=t                                     (23)

现在利用隐函数求导法则求微分算子的变换规律:

D[Y,{x,1}]=D[Y,{x',1}]*D[x',{x,1}]=D[Y,{x',1}]               (24)

=>

D[Y,{x,2}]=D[Y,{x',2}]                                       (25)

这表明对位置的微分在galilean变换下协变;现在看对时间的微分:

D[Y,{t,1}]=-D[Y,{x',1}]*D[x',{t,1}]+D[Y,{t',1}]*D[t',{t,1}]

         =-V*D[Y,{x',1}]+D[Y,{t',1}]                         (26)

=>

D[Y,{t,2}]=V^2*D[Y,{x',2}]-2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]+D[Y,{t',2}]  (27)

于是波动方程在Galilean变换下成为:

D[Y,{x',2}]-(u0*e0-V^(-2))*D[Y,{t',2}]+2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]=0  (28)

(28)表示波动方程不协变! 另外, 交叉导数项表明, 任何只针对空间坐标的变换是不可

能导致波动方程的协变的(这个你可以自己按这方法作一下). 任何想使得波动方程协变

的坐标变换必须连时间一起变!

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