Science 版 (精华区)

发信人: zjliu (分析数学), 信区: Science
标  题: 证明的证明（一）
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Sep 27 14:19:42 2002) , 转信

先让我们来看看这个颇有名的“任何三角形都是等腰三角形”的“证明”。



　　对任意三角形⊿ABC，我们要证明|AB|=|AC|。作∠BAC的角平分线AO与底BC的
垂直平
分线HO，相交于O点；分别作O点到AB和AC的垂线OD和OE。现在由∠OAD=∠OAE，∠
ODA=∠
OEA，|AO|=|AO|可知：⊿OAD和⊿OAE全等。于是|AD|=|AE|，|OD|=|OE|。然后据
|OB|=|O
C|，|OD|=|OE|，以及∠ODB=∠OEC为直角可知⊿OBD和⊿OCE全等，于是|DB|=|EC|
。于是
|AB|=|AD|+|DB|=|AE|+|EC|=|AC|。

　　这个证明当然是荒唐的。事实上，如果我们延长AO使其交BC边于L，那么按照
初等几
何的一个简单的定理：|AB|/|BL|=|AC|/|LC|，于是如果事实上AB短于AC的话，BL
就会短
于LC，或者说L点就会在H点的左边，BC的垂直平分线绝不会和∠BAC的角平分线相
交于⊿
ABC内部！而这点在上面的“证明”中起了关键的作用。所以这个证明的错误之处
在于画
了一个误导人的图。有一个类似的“所有钝角都是直角”的“证明”。

　　看了上面这个“证明”，我们不免会有这样的疑问：如果一个几何题的证明的
正确
性取决于画图的准确性，那么我们又如何能保证画图的准确性呢？尤其严重的是，
任何
一个图形，即便你把它画得足够“一般”，它事实上都只能代表这个图形所表示的
具体
情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时，如何使人相信这个证明其实是对
所有
的情况作出的呢？尤其是当几何图形相当复杂时，这种疑问会变得很强烈：这个具
体图
形是否能代表一般的情况？
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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]
※ 修改:·zjliu 於 09月27日14:42:09 修改本文·[FROM: 202.118.229.86]