Science 版 (精华区)

发信人: zjliu (分析数学), 信区: Science
标  题: 证明的证明（二）
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Sep 27 14:20:49 2002) , 转信

 

对更一般的数学证明来说，我们也会有这样的担心：我们在证明一个命题的时候，是否
会在证明里运用了太多的直觉，以至于不小心引入了事实上不存在的前提？上面这个“
证明”当然是一个构思巧妙的人工之作，并非某个人无心的错误，但是历史上数学家不
小心犯的这种错误比比皆是。

　　公理化方法的开山祖师欧几里得在他的不朽名作《几何原本》中提出了23个定义，
五条公设和五条公理（欧几里得把公设看作是只在几何中正确的公理，如第一公设“由
任一点至任一点可作一直线”，而公理则放之四海而皆准，如第二公理“等量加等量，
和相等”，现代数学中不作这样的区分，都称为公理），然后试图只用这些定义、公设
和公理来推导出整个几何学的定理。但是后人发现，其中某些定义对于逻辑推理是不必
要的，在证明几何定理的过程中永远也用不着这些定义，比如定义一所云“点是没有部
分的”；而更大的缺陷是，欧几里得在证明推导过程中使用了隐含的没有事先列举出来
的命题，比如他大量地使用“直线上两点之间的某一点”，“在直线同一侧的点”或者
“三角形内某点”诸如此类的话，但是从来没有想到并无任何公理来保证这样的点存在
。当然，这样的点的存在的确很直观，甚至直观得欧几里得感觉不出他另作了假设，直
观得一直要到十九世纪才有数学家帕西(M. Pasch)等人详细研究这些命题并提出必须将
这些点的存在性作为公理。但是如果我们可以任意使用我们觉得直观的命题，那么为什
么要明确提出“由任一点至任一点可作一直线”这样的公理呢？它也同样很直观啊。所
以所有在论证中使用的公理都应该被明确指出，毫无遗漏。

　　考虑下面这个无穷级数：

　　1-1+1-1+1-1+……

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下
去，得到：

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。现在我们知道，对于不
收敛的级数来说，交换各项相加的次序会得出各种不同的结果，而等比级数公式也只能
应用于收敛级数，当将公式应用于并不满足条件的情形，有可能得出极其荒谬的结论。

　　
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　　考虑下面这个无穷级数：

　　1-1+1-1+1-1+……

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下
去，得到：

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。现在我们知道，对于不
收敛的级数来说，交换各项相加的次序会得出各种不同的结果，而等比级数公式也只能
应用于收敛级数，当将公式应用于并不满足条件的情形，有可能得出极其荒谬的结论。
来源:·交大兵马俑BBS站 bbs.xjtu.edu.cn·[FROM:山城梁山]




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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]