Science 版 (精华区)

发信人: zjliu (分析数学), 信区: Science
标  题: 证明的证明（三）
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Sep 27 14:21:28 2002) , 转信

 
 

　　除了上面所说的在证明中有意无意地引入额外的假设，在数学证明中还有循环论证
的危险。数学发展到今天，已经不是象两千多年前那样，一个人就可以掌握其全部分支
。数以十万计的数学家同时在不同的地方工作，每个人大多只精通数学的一个小小的分
支，但是却几乎是必不可少地使用到其它分支的成果。这不禁使人担心，如果自己使用
的另一分支的结论，基于其它分支的结论，而其它分支的结论也基于另一些分支的结论
……如果按照这样的线索追踪下去，我们发现最后兜了回来，前面那一串都要依靠自己
正需要证明的结果，那么这整一系列成果就会变成基于循环论证圈上的空中楼阁。循环
论证可以看作是引入额外假设错误的一种变体：当需要证明命题A时，引入命题B作为已
知的结论进行论证，而需要证明命题B时却又假设命题A是已知结论了。

　　另外，对一些复杂条件的逻辑上的等价变换和理解也是相当令人头痛的。比如说函
数极限的ε-δ语言定义：“对定义在实数域上的实值函数f(x)和实数x0，如果存在实数
f0，对任意δ＞0，都存在ε＞0，使得对任意x满足0＜|x-x0|＜ε，我们都有|f(x)-f0|
＜δ，那么我们说在x趋于x0时，函数f(x)的值趋于f0。”这个定义已经足以把一般的数
学分析初学者搞晕一阵子了，就不用说请他们按照这个定义把“当x趋于x0时，函数f(x)
的值不趋于f0”的定义（也就是上述命题的否命题）写出来。这种困难也并非只有初学
者才会遇到。柯西，这位将数学分析严密化的伟大数学家，就曾错误地以为“收敛”和
“一致收敛”是一回事，搞混了“存在ε，使得对任意的整数i……”和“对任意的整数
i，存在ε，使得……”两种说法。

　　毫无疑问，在数学中我们需要一种方法来排除此类证明错误。这就是形式化方法。
我们先来看看在《几何基础》这部名著中希尔伯特是如何使用形式化方法来解决本文开
始所提出的问题的。首先希尔伯特取消了欧几里得关于“点”、“直线”、“平面”之
类几何基本对象的定义。既然那些定义和证明无关，那么它们就是多余的，所有这些基
本对象的性质和它们之间的关系完全是用公理的形式来确定的。这些基本对象的名字是
什么，却是无关紧要的（当然，不同的对象应该有不同的名字，否则我们就没法分辨它
们了，而名字也仅起着用来分辨不同对象的作用）。希尔伯特为此在书中说：“我们必
须能够不用‘点、线、面’，而说‘桌子、椅子和啤酒杯’。”书中引入了五组共二十
条公理。比如第二组顺序公理的第二条是：“对于点A和点C，直线AC上总有一点B，使得
C在A和B之间。”粗看起来，这简直是大废话，但是在形式化几何下，这是必不可少的。
因为在形式化的证明中，我们并不能使用“点”、“直线”、“在……之间”的平常意
义，所能使用的只有这些公理。事实上，上面这个公理虽然告诉你点C在点A和点B之间，
你还是不能立刻说点C在点B和点A之间！你必须引用顺序公理组中的第一条公理来证明这
一点。有了这些公理后，希尔伯特就可以只用逻辑推理，而不用借助画图，推出整个初
等几何（虽然《几何基础》一书中还是有几何图形，但是那只是用来说明问题，帮助读
者理解，真正的证明完全不依赖于这些图形。）

　　
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“一致收敛”是一回事，搞混了“存在ε，使得对任意的整数i……”和“对任意的整数
i，存在ε，使得……”两种说法。

　　毫无疑问，在数学中我们需要一种方法来排除此类证明错误。这就是形式化方法。
我们先来看看在《几何基础》这部名著中希尔伯特是如何使用形式化方法来解决本文开
始所提出的问题的。首先希尔伯特取消了欧几里得关于“点”、“直线”、“平面”之
类几何基本对象的定义。既然那些定义和证明无关，那么它们就是多余的，所有这些基
本对象的性质和它们之间的关系完全是用公理的形式来确定的。这些基本对象的名字是
什么，却是无关紧要的（当然，不同的对象应该有不同的名字，否则我们就没法分辨它
们了，而名字也仅起着用来分辨不同对象的作用）。希尔伯特为此在书中说：“我们必
须能够不用‘点、线、面’，而说‘桌子、椅子和啤酒杯’。”书中引入了五组共二十
条公理。比如第二组顺序公理的第二条是：“对于点A和点C，直线AC上总有一点B，使得
C在A和B之间。”粗看起来，这简直是大废话，但是在形式化几何下，这是必不可少的。
因为在形式化的证明中，我们并不能使用“点”、“直线”、“在……之间”的平常意
义，所能使用的只有这些公理。事实上，上面这个公理虽然告诉你点C在点A和点B之间，
你还是不能立刻说点C在点B和点A之间！你必须引用顺序公理组中的第一条公理来证明这
一点。有了这些公理后，希尔伯特就可以只用逻辑推理，而不用借助画图，推出整个初
等几何（虽然《几何基础》一书中还是有几何图形，但是那只是用来说明问题，帮助读
者理解，真正的证明完全不依赖于这些图形。）
来源:·交大兵马俑BBS站 bbs.xjtu.edu.cn·[FROM:山城梁山]




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