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发信人: zjliu (Robusting), 信区: Science
标  题: 五十知天命，有限元功盖四方（2）(zz)
发信站: 哈工大紫丁香 (Thu Jan  2 18:56:23 2003) , 转信

 


 有限元模型是理论模型的一种离散近似．近似必然产生误差。
各种误差必然对限元方法分析计算、评估预测结果的正确可靠
性产生重要影响．这些误差是多种多样的．有限元模型的物理力学
近似不可能没有误差，载荷施加和边界条件计算处理导致误差．计
算求解有误差.正是数学家完成了系统性的数值误差分祈，揭露了
有限元计算精度依赖于有限元形状函数阶次的数量关系，揭露了
这些误差因素对最终结果精度产生何等程度的影响，才使有限元
计算分析从经验的水平上升到理论的水平．由我国数学家冯康教
授开创的这一研究，历时十年，捷克、美国、法国等许多国家的专家
学者广泛参与、最终断定力学家提出的分片等参数插值多项式的
有限元位移模式的逼近论性质、逼近度、有限元几何尺寸和多项式
阶次的关系，使有限元方法出现质的飞跃．
   为了使有限元数学模型充分刻画问题的物理与力学的特性，
使有限元模型既可靠又简单，力学家从不同的力学原理出发、提出
了多种富有特色的有限元模型。它们是假定位移的最小势能模型，
假定应力近似的力平衡模型，既假定应力又假定位移的混合跺交
模型，以及变分犯规的非协调位移模型等．各种模型的数值试验揭
示，不同模型的计算结果有不同的误差收敛与发散的性状规律．为
改善协调位移模型使结构过于刚硬的缺陷，非协调位移模型采用
变分犯规措施进行调节．但并不都一定奏效，有时事与愿违，得不
到正确的计算结果，使计算简单的非协调有限元模型的应用蒙上
了阴影．于是力学家建议，采用所谓patch test(补丁检查)模型可
靠性的检验措施予以补救．但是这些有力学依据的必要条件．最终
成为保证分析一定正确可靠的充分条件，也经历了较长期的努力、
由许多数学家做了大量的研究工作才告完成．在这一方面，我国数
学家的工作有重要意义，石钟慈教授对非协调元方法的系统性研
究就是一项世界公认的成就.
  数学家为杂交元模型建立理论基础，克服有限元方法处
理不可压缩材料面临的收敛闭锁障碍，使有限元从固体力学进入
流体动力学等更宽广的领域，则更是大功一件．从此有限元法的发
展登上了新的高峰． 基于广义变分原理的混合／杂交有限元模型，力学上直接而清
楚地刻画应力、应变、位移协调各种物理与力学的关系，应该是更
合理的有限元模型．但是它的鞍点问题特性，使问题复杂化了．对
一个混合供交有限元模型的假定应力模态和假定位移模态不加
限制，即便表面上是自然可取的，其结果未必是正确的．不加限制、
不是刚体位移的虚假零能模态有可能出现．自然不能保证有正确
的计算结果．是意大利计算数学家Brezzi借助泛函分析的数学理
论，建立了解决上述问题的理论框架．从原则上规定了混合砍交
元模型的假定位移和假定应力模态必须满足的充分必要条件．为
混合杂交元方法健康发展、广泛应用开创了一条广阔平坦的道路。
自此，有限元成为处理对流扩散运动的一种有力方法，使Navier—
Stokes方程的有限元模拟出现新局面．从而克服了在这领域有限差分（FDM）独霸天下的
局
面。
 




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