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发信人: qpcwth (独翅鸟), 信区: Science
标  题: 跨越分形(4)
发信站: 哈工大紫丁香 (2001年11月03日17:08:42 星期六), 站内信件

跨越分形(4)
——分维
　　
　　分维？你是说还有一个2.8126维的物体吗？是的！尽管听起来似乎比较荒诞，但这
是事实。在这个概念的基础上才有分形学的发展，这个概念也可能会进一步改变我们的
世界观。在前面我们曾介绍过“分形之父” Benoit Mandelbrot ，他正是从分维的概念
出发创造了“分形”（Fractal）这个词。 因为这是一个非常复杂的问题，所以我们必
须慢速前进。让我们先作一个类比。
　　
　　牛顿是1600年代时代的人物。牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运动情
况。但是，当运动物体的速度接近光速时，这个定理就变得极不准确。于是，在1900初
，爱因斯坦发明了相对论。这个成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你会发现
，在低速的情况下，相对论的结果等同于牛顿定律。
　　
　　那么，这和分维有什么联系呢？象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数
概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维知识相冲突，而是一种发展！我们正要拓
展你的关于维数的概念，而引进分数维的概念。
　　
　　我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里。你可能知道：一个平面是二
维的，一条直线是一维的，而一个点呢？零维的！我们能够想象具有类似维数的任何物
体。但是，你能想象一个具有1.2618维的物体吗？或许不能吧？那么，下图所演示的Ko
ch曲线就是1.2618维的。
　　
图4.1 Koch曲线的形成
　　
　　为了构造Koch曲线，我们首先作一条直线，然后在直线的中央作一个等边三角形，
于是，直线变得复杂一些。然后，再在每一条线段的中央分别作一个等边三角形，这条
直线变得更加复杂。依照此法，无限制地进行下去，就形成了Koch曲线。这个时候，这
条直线开始接近一个平面，因为它明显地具有“高度”，但是，更精确地说，它却并不
是一个平面，或者说，并不是一个二维的曲线。它的维数只有1.2618。为什么这样说呢
？因为它高过一维，但却不到二维？
　　
　　听起来是不是够玄乎的？不过，不要着急，我们将介绍更多的例子来帮助你来理解
分维的概念。
　　
图4.2 Sierpinski三角形的演变
　　
　　在Sierpinski三角形中，我们首先作一个完全填充的三角形（二维）。然后，我们
从中间移去一个三角形，然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积
等于零了，于是，它的位数自然小于 2 ，但是却永远达不到 1 ，因为，无论何处，它
都不接近一条线。所以，它的维数也在2与1之间，经过数学计算，它的真正维数大约是
1.5850。
　　
　　现在你理解了分维的概念了吗？但愿如此吧！尽管这种思想非常奇怪，但却非常美
妙，特别对于数学研究来说。你现在明白了吗？如果还不明白的话，回过头，把这部分
内容再阅读一遍，相信你会有更多的收获。
　　
　　现在，你已经了解分维的意思了，那么，怎么计算分维呢？在学习分维的计算方法
之前，你应该对代数知识（特别是对数）知识有一定的了解。
　　
　　假如你把一条直线分为 N 段，那么，你就有了原始直线的 N 个更小的版本，每一
个都按照一个比例系数 r 减小，在这里 Nr = 1。对一个正方形来说，也分成几个小的
正方形，也让每一正方形的每边的缩放比例为 r 。注意，这个时候 N 和 r 的关系是 
Nr^2 = 1。
　　
　　现在，我们可以归纳出分维来了。假设你把一个 d 维物体分为 N 等份，每一份的
缩放比例是 r，二者的关系是 Nr^d = 1。
　　
　　经过数学计算，我们可以得到 d = (log N) / (log (1/r))。
　　
　　对于Koch曲线来说，我们把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的 (1/3)。
所以有 N = 4 和 r = 1/3。运用上面的等式，可以计算 d = (log 4) / (log 3) ≈ 1
.261859507143。
　　
　　在Sierpinski三角形中，我们把三角形分成了三个相等的部分。而每一部分的边长
和高只是原先三角形的 (1/2) ，所以 N =3 并且 r = 1/2 ，根据等式计算的结果则是
 d = (log 3) / (log 2)，结果大约等于 1.584962500721.
　　
　　现在，你应该知道怎么计算简单的分维了吧？还有很多种方法是专门用来计算非自
相似分形的分维数的。在后续的文章中，你将会知道通过分形的方法可以计算海岸线，
但是海岸线却并不是真正的自相似，所以必须运用近似计算方法。
　　
　　现在我们已经知道分形的原理，并且也初步学会了分维的计算，下一步我们要学习
什么呢？当然是分形的生成和分形的应用了。

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心事浩茫连广宇,于无声处听惊雷

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