Science 版 (精华区)

发信人: zjliu (Robusting), 信区: Science
标  题: 怎样做数学研究 (9)  zz
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat Oct 26 15:18:28 2002) , 转信

好的问题，好的研究问题，打哪儿来呢？它们也许来自一个
隐蔽的洞穴，同在那个洞穴里，作家发现了他们的小说情节，
作曲家则发现了他们的曲调 – 谁也不知道它在何方，甚至在
偶然之中闯进一辆此后，也记不清它的位置. 有一点是肯定
的：好的问题不是来自于做推广的模糊欲念. 几乎正相反的
说法倒是真的：所有大数学问题的根源都是特例，是具体的
例子. 在数学中常见到的一个似乎具有很大普遍性的概念实
质上与一个小的具体的特例是一样的. 通常，正是这个特例
首次揭示了普遍性. 阐述“在实质上是一样”的一个精确明晰
的方法就如同一个定理表述. 关于线性泛函的黎兹（Riesz）
定理就很典型. 固定一个在内积中的向量就定义了一个有界
线性泛函；一个有界线性泛函的抽象概念表面上看来具有很
大的概括性；事实上，每个抽象概念都是以具体特定的方式
产生出来的，那定理也是.

这是我和狄多涅（Dieudonne）似乎各执己见的许多论题中的
一个. 在马里兰，我曾做过一次学术报告，那正好也是狄多涅
访问那里的许多次中的一次. 那次报告的主题是正逼近. 我那
次选定的问题是：已知一希尔伯特 (Hilbert) 空间上的任意
算子 A, 求一个正（非负半定的）算子 P 极小化 ||A-P||.
我很幸运：结果发现有一个小的具体的特例，它包含了一切概
念，一切困难，一切为理解和克服它们所需要的步骤. 我使我
的报告紧紧围绕那个特例，由矩阵
/0  1\
\0  0/ 定义的 C^2 上的算子，我当时感到很自豪: 我认为我
成功地讲清了一个很好的问题及其令人满意的解，却没有因此
而陷入与此无关的分析的术语陈式之中去. 狄多涅当时表现的
礼貌且友好，但事后显然表现出不屑一顾的态度；我记不清他
的原话了，但大意上，他祝贺我的滑稽表演. 他对我的报告的
印象似乎是“娱乐数学”. 这在他的词汇中是个讥笑的字眼；他
认为我的报告趣味有余，但是做作且轻浮. 我认为（现在还继
续认为）问题远不只如此. 我俩评价的相异是我们观点上的差
别造成的. 我认为对于狄多涅来说，重要的是那个强大的一般
性定理，从这一定理你很容易推出所有你需要的特例来；而对
于我来说，最伟大的前进步骤是，很能说明问题的中心例子，
从这一例子中我们很容易搞清楚围在该例子周围的所有带普遍
性的东西. (待续)




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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 218.30.19.115]